ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 324 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:
а) \((2 — \sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}\);
б) \((5 + \sqrt{3})^2 — 10\sqrt{3}\);
в) \((2 — \sqrt{5})^2 + (2 + \sqrt{5})^2\);
г) \((5 + \sqrt{3})^2 + (5 — \sqrt{3})^2\).

а) \((2 — \sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5} = 4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4\sqrt{5} = 9\)

б) \((5 + \sqrt{3})^2 — 10\sqrt{3} = 25 + 10\sqrt{3} + 3 — 10\sqrt{3} = 28\)

в) \((2 — \sqrt{5})^2 + (2 + \sqrt{5})^2 = 4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 18\)

г) \((5 + \sqrt{3})^2 + (5 — \sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3 + 25 — 10\sqrt{3} + 3 = 56\)

а) Сначала раскроем скобки в выражении \((2 — \sqrt{5})^2\). По формуле квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\), получаем \(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 — 4\sqrt{5} + 5\). Далее к этому результату прибавляем \(4\sqrt{5}\), что даёт \(4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4\sqrt{5}\). В выражении члены с корнями \(-4\sqrt{5}\) и \(+4\sqrt{5}\) взаимно уничтожаются, остаётся сумма чисел \(4 + 5 = 9\).

Таким образом, окончательный результат равен \(9\).

б) Для \((5 + \sqrt{3})^2\) используем формулу квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Получаем \(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3\). Из этого выражения вычитаем \(10\sqrt{3}\), что даёт \(25 + 10\sqrt{3} + 3 — 10\sqrt{3}\). Члены с корнями \(+10\sqrt{3}\) и \(-10\sqrt{3}\) взаимно сокращаются, остаётся сумма чисел \(25 + 3 = 28\).

Итоговый ответ равен \(28\).

в) Рассмотрим сумму квадратов двух выражений: \((2 — \sqrt{5})^2\) и \((2 + \sqrt{5})^2\). Раскроем каждое по формуле квадрата разности и суммы соответственно. Первое: \(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 — 4\sqrt{5} + 5\). Второе: \(2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5\). Складываем их: \(4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4 + 4\sqrt{5} + 5\). Члены с корнями \(-4\sqrt{5}\) и \(+4\sqrt{5}\) сокращаются, остаётся сумма чисел \(4 + 5 + 4 + 5 = 18\).

Ответ: \(18\).

г) Аналогично вычислим сумму квадратов \((5 + \sqrt{3})^2\) и \((5 — \sqrt{3})^2\). Раскрываем каждое: первое — \(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 + 10\sqrt{3} + 3\), второе — \(5^2 — 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 — 10\sqrt{3} + 3\). Складываем: \(25 + 10\sqrt{3} + 3 + 25 — 10\sqrt{3} + 3\). Корни \(+10\sqrt{3}\) и \(-10\sqrt{3}\) взаимно уничтожаются, остаётся сумма чисел \(25 + 3 + 25 + 3 = 56\).

Итог: \(56\).