ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 326 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{1 — \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\) при \(x = -0,5\);
б) \(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}\) при \(x = -0,4\).

а) \( \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x+1}, \quad \text{при } x = -0,5 \)
\( \Rightarrow \frac{-0,5 — 1}{-0,5 + 1} = \frac{-1,5}{0,5} = \frac{-15}{5} = -3. \)

б) \( \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = \frac{1}{1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1+\frac{x}{x+1}} = \frac{1}{\frac{x+1+x}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}, \quad \text{при } x = -0,4 \)
\( \Rightarrow \frac{-0,4 + 1}{2 \cdot (-0,4) + 1} = \frac{0,6}{-0,8 + 1} = \frac{0,6}{0,2} = \frac{6}{2} = 3. \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}} \). Для удобства преобразуем числитель и знаменатель, приведя к общему знаменателю внутри дробей. В числителе \(1-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}\), а в знаменателе \(1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}\). Теперь исходное выражение можно записать как дробь от дробей: \( \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} \). Деление одной дроби на другую эквивалентно умножению на обратную, поэтому сокращаем знаменатели \(x\) и получаем \( \frac{x-1}{x+1} \).

Подставим значение \(x = -0,5\) в полученную упрощённую форму. Считаем числитель: \(-0,5 — 1 = -1,5\), знаменатель: \(-0,5 + 1 = 0,5\). Делим числитель на знаменатель, получаем \(\frac{-1,5}{0,5} = -3\). Таким образом, исходное выражение при заданном значении \(x\) равно \(-3\).

б) Исходное выражение: \( \frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} \). Начинаем с внутренней дроби: \(1+\frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}\). Следующая часть знаменателя: \(1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = 1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}\). Теперь исходное выражение становится \( \frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} \), что эквивалентно \( \frac{x+1}{2x+1} \).

Подставим значение \(x = -0,4\). Считаем числитель: \(-0,4 + 1 = 0,6\). Знаменатель: \(2 \cdot (-0,4) + 1 = -0,8 + 1 = 0,2\). Делим числитель на знаменатель: \(\frac{0,6}{0,2} = 3\). Таким образом, при \(x = -0,4\) выражение равно \(3\).