ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 327 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{x — |x — 1|}{x + 2}\) при \(x\), равном 4; 38; -42;
б) \(\frac{2|3 — x| — 1}{4}\) при \(x\), равном 2; 11; -6.

а) \( \frac{x — |x — 1|}{x + 2}, \quad x \neq -2. \)
Если \( x \geq 1 \), то:
\( \frac{x — (x — 1)}{x + 2} = \frac{x — x + 1}{x + 2} = \frac{1}{x + 2}. \)
Если \( x < 1 \), то: \( \frac{x + (x — 1)}{x + 2} = \frac{x + x — 1}{x + 2} = \frac{2x — 1}{x + 2}. \) При \( x = 4 \) (\( x > 1 \)):
\( \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{6}. \)
При \( x = 38 \) (\( x > 1 \)):
\( \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{38 + 2} = \frac{1}{40}. \)
При \( x = -42 \) (\( x < 1 \)): \( \frac{2x — 1}{x + 2} = \frac{2 \cdot (-42) — 1}{-42 + 2} = \frac{-84 — 1}{-40} = \frac{-85}{-40} = \frac{17}{8} = 2 \frac{1}{8}. \)

б) \( \frac{2|3 — x| — 1}{4}. \) Если \( x \leq 3 \), то: \( \frac{2(3 — x) — 1}{4} = \frac{6 — 2x — 1}{4} = \frac{5 — 2x}{4}. \) Если \( x > 3 \), то:
\( \frac{2(x — 3) — 1}{4} = \frac{2x — 6 — 1}{4} = \frac{2x — 7}{4}. \)

При \( x = 2 \) (\( x < 3 \)): \( \frac{5 — 2x}{4} = \frac{5 — 2 \cdot 2}{4} = \frac{5 — 4}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25. \) При \( x = 11 \) (\( x > 3 \)):
\( \frac{2x — 7}{4} = \frac{2 \cdot 11 — 7}{4} = \frac{22 — 7}{4} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3{,}75. \)
При \( x = -6 \) (\( x < 3 \)):
\( \frac{5 — 2x}{4} = \frac{5 — 2 \cdot (-6)}{4} = \frac{5 + 12}{4} = \frac{17}{4} = 4 \frac{1}{4} = 4{,}25. \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{x — |x — 1|}{x + 2} \), где \( x \neq -2 \) для определения области определения функции. Здесь важно понять, как раскрыть модуль \( |x — 1| \). Модуль определяет значение в зависимости от знака выражения внутри: если \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \), модуль раскрывается как \( x — 1 \), а если \( x < 1 \), то как \( -(x - 1) = 1 - x \). При \( x \geq 1 \) подставляем \( |x - 1| = x - 1 \) в числитель: \( x - (x - 1) = x - x + 1 = 1 \). Тогда выражение принимает вид \( \frac{1}{x + 2} \). При этом знаменатель не равен нулю, так как \( x \neq -2 \), что исключает деление на ноль. Если \( x < 1 \), раскрываем модуль как \( 1 - x \), тогда числитель становится: \( x - (1 - x) = x - 1 + x = 2x - 1 \). Выражение приобретает вид \( \frac{2x - 1}{x + 2} \), где также необходимо следить за тем, чтобы \( x + 2 \neq 0 \). Для проверки значений подставим конкретные \( x \). При \( x = 4 \), удовлетворяющем \( x \geq 1 \), получаем: \( \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{6} \). При \( x = 38 \), также \( x \geq 1 \), результат: \( \frac{1}{38 + 2} = \frac{1}{40} \). Для \( x = -42 \), где \( x < 1 \), вычисляем: \( \frac{2 \cdot (-42) - 1}{-42 + 2} = \frac{-84 - 1}{-40} = \frac{-85}{-40} = \frac{17}{8} = 2 \frac{1}{8} \). б) Рассмотрим выражение \( \frac{2|3 - x| - 1}{4} \). Аналогично предыдущему пункту, нужно раскрыть модуль \( |3 - x| \) в зависимости от значения \( x \). Если \( x \leq 3 \), то \( |3 - x| = 3 - x \), если \( x > 3 \), то \( |3 — x| = x — 3 \).

При \( x \leq 3 \) подставляем:
\( \frac{2(3 — x) — 1}{4} = \frac{6 — 2x — 1}{4} = \frac{5 — 2x}{4} \).
При \( x > 3 \) имеем:
\( \frac{2(x — 3) — 1}{4} = \frac{2x — 6 — 1}{4} = \frac{2x — 7}{4} \).

Для проверки подставим конкретные значения. При \( x = 2 \), удовлетворяющем \( x \leq 3 \), вычисляем:
\( \frac{5 — 2 \cdot 2}{4} = \frac{5 — 4}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \).
При \( x = 11 \), где \( x > 3 \), получаем:
\( \frac{2 \cdot 11 — 7}{4} = \frac{22 — 7}{4} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3{,}75 \).
Для \( x = -6 \), удовлетворяющем \( x \leq 3 \), вычисляем:
\( \frac{5 — 2 \cdot (-6)}{4} = \frac{5 + 12}{4} = \frac{17}{4} = 4 \frac{1}{4} = 4{,}25 \).