ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 329 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:
а) \(\sqrt{27}\); в) \(\sqrt{120}\); д) \(\sqrt{0{,}4}\); ж) \(\sqrt{167}\);
б) \(\sqrt{40}\); г) \(\sqrt{9{,}2}\); е) \(\sqrt{15}\); з) \(\sqrt{288}\).

а) \(5 < \sqrt{27} < 6\)
\(5 < 3\sqrt{3} < 6\)
\(5 < 5{,}196 < 6\) — верно

б) \(6 < \sqrt{40} < 7\)
\(6 < 2\sqrt{10} < 7\)
\(6 < 6{,}324 < 7\) — верно

в) \(10 < \sqrt{120} < 11\)
\(10 < 2\sqrt{30} < 11\)
\(10 < 10{,}954 < 11\) — верно

г) \(3 < \sqrt{9{,}2} < 4\)
\(3 < 3{,}033 < 4\) — верно

д) \(0 < \sqrt{0{,}4} < 1\)
\(0 < 0{,}632 < 1\) — верно

е) \(3 < \sqrt{15} < 4\)
\(3 < 3{,}873 < 4\) — верно

ж) \(12 < \sqrt{167} < 13\)
\(12 < 12{,}922 < 13\) — верно

з) \(16 < \sqrt{288} < 17\)
\(16 < 12\sqrt{2} < 17\)
\(16 < 16{,}970 < 17\) — верно

а) Рассмотрим неравенство \(5 < \sqrt{27} < 6\). Для проверки этого неравенства нужно найти точное значение корня или хотя бы приблизительное. Корень из 27 можно представить как \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\). Значение \(\sqrt{3}\) примерно равно 1{,}732, значит \(3\sqrt{3} \approx 3 \times 1{,}732 = 5{,}196\). Теперь сравним это число с границами: \(5 < 5{,}196 < 6\), что является истинным. Таким образом, неравенство верно, так как значение корня действительно находится между 5 и 6.

Для более точной оценки можно использовать приближённые значения, но в данном случае достаточно и такой оценки. Число 27 лежит между \(25 = 5^2\) и \(36 = 6^2\), следовательно, корень из 27 тоже должен лежать между 5 и 6, что подтверждается расчетом.

б) В неравенстве \(6 < \sqrt{40} < 7\) необходимо проверить, действительно ли \(\sqrt{40}\) лежит между 6 и 7. Представим 40 как произведение \(4 \times 10\), тогда \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}\). Приблизительно \(\sqrt{10} \approx 3{,}162\), значит \(2\sqrt{10} \approx 2 \times 3{,}162 = 6{,}324\). Сравним с границами: \(6 < 6{,}324 < 7\), что подтверждает истинность неравенства.

Можно также заметить, что \(36 = 6^2 < 40 < 49 = 7^2\), поэтому корень из 40 будет между 6 и 7. Подробный расчет через разложение и приближение подтверждает правильность оценки.

в) В неравенстве \(10 < \sqrt{120} < 11\) нужно проверить, находится ли \(\sqrt{120}\) между 10 и 11. Разложим 120 на множители: \(120 = 4 \times 30\), тогда \(\sqrt{120} = \sqrt{4 \times 30} = 2\sqrt{30}\). Приблизительно \(\sqrt{30} \approx 5{,}477\), следовательно, \(2\sqrt{30} \approx 2 \times 5{,}477 = 10{,}954\). Проверим неравенство: \(10 < 10{,}954 < 11\), что верно.

Также можно отметить, что \(100 = 10^2 < 120 < 121 = 11^2\), а значит корень из 120 должен находиться между 10 и 11. Расчёты с приближением подтверждают это.

г) Для неравенства \(3 < \sqrt{9{,}2} < 4\) определим значение \(\sqrt{9{,}2}\). Число 9{,}2 лежит между \(9 = 3^2\) и \(16 = 4^2\), значит корень должен быть между 3 и 4. Приблизительно \(\sqrt{9{,}2} \approx 3{,}033\), что подтверждает неравенство \(3 < 3{,}033 < 4\).

Здесь важно заметить, что число 9{,}2 очень близко к 9, поэтому корень будет немного больше 3, но значительно меньше 4. Это и подтверждается вычислением.

д) Рассмотрим \(0 < \sqrt{0{,}4} < 1\). Корень из 0{,}4 можно представить как \(\sqrt{\frac{4}{10}} = \sqrt{\frac{2^2}{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}\). Приблизительно \(\sqrt{0{,}4} \approx 0{,}632\). Проверим: \(0 < 0{,}632 < 1\), что истинно.

Так как 0{,}4 меньше 1, то корень из 0{,}4 обязательно меньше 1, а так как корень из положительного числа положителен, то он больше 0. Это и подтверждает неравенство.

е) В неравенстве \(3 < \sqrt{15} < 4\) проверим значение корня. Число 15 лежит между \(9 = 3^2\) и \(16 = 4^2\), значит корень из 15 должен быть между 3 и 4. Приблизительно \(\sqrt{15} \approx 3{,}873\), что подтверждает \(3 < 3{,}873 < 4\).

Такое расположение чисел подтверждает, что корень из 15 действительно находится между 3 и 4, что и требовалось доказать.

ж) Рассмотрим \(12 < \sqrt{167} < 13\). Число 167 находится между \(144 = 12^2\) и \(169 = 13^2\), значит корень из 167 должен быть между 12 и 13. Приблизительно \(\sqrt{167} \approx 12{,}922\), что подтверждает \(12 < 12{,}922 < 13\).

Это показывает, что корень действительно находится в указанном интервале, что и требовалось проверить.

з) Для неравенства \(16 < \sqrt{288} < 17\) найдем значение корня. Число 288 можно представить как \(16 \times 18\), тогда \(\sqrt{288} = \sqrt{16 \times 18} = 4\sqrt{18}\). Приблизительно \(\sqrt{18} \approx 4{,}243\), значит \(4\sqrt{18} \approx 4 \times 4{,}243 = 16{,}970\). Проверим неравенство: \(16 < 16{,}970 < 17\), что верно.

Также заметим, что \(256 = 16^2 < 288 < 289 = 17^2\), что подтверждает правильность интервала для корня из 288.