ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 33 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{a^2 — ab + b^2}{a^3 + b^3}\)
б) \(\frac{a^3 — b^3}{a — b}\)
в) \(\frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3}\)
г) \(\frac{a^3 — b^3}{a^2 — b^2}\)

а) \( \frac{a^{2} — ab + b^{2}}{a^{3} + b^{3}} = \frac{a^{2} — ab + b^{2}}{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})} = \frac{1}{a + b} \)

б) \( \frac{a^{3} — b^{3}}{a — b} = \frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{a — b} = a^{2} + ab + b^{2} \)

в) \( \frac{(a + b)^{3}}{a^{3} + b^{3}} = \frac{(a + b)(a^{2} + 2ab + b^{2})}{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})} = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} — ab + b^{2}} \)

г) \( \frac{a^{3} — b^{3}}{a^{2} — b^{2}} = \frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{(a — b)(a + b)} = \frac{a^{2} + ab + b^{2}}{a + b} \)

а) В данном выражении мы видим дробь с числителем \(a^{2} — ab + b^{2}\) и знаменателем \(a^{3} + b^{3}\). Для упрощения знаменателя используем формулу суммы кубов: \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\). Подставляя это в знаменатель, получаем дробь \(\frac{a^{2} — ab + b^{2}}{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})}\).

Далее сокращаем одинаковые множители \(a^{2} — ab + b^{2}\) в числителе и знаменателе, так как они не равны нулю при условии, что \(a\) и \(b\) — переменные. После сокращения остаётся простая дробь \(\frac{1}{a + b}\), что и является окончательным ответом.

б) Здесь в числителе стоит разность кубов \(a^{3} — b^{3}\), а в знаменателе — разность \(a — b\). По формуле разности кубов \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\). Подставляя эту формулу, дробь становится \(\frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{a — b}\).

После этого сокращаем множитель \(a — b\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(a \neq b\). В итоге остаётся выражение \(a^{2} + ab + b^{2}\), что и есть итоговое значение.

в) В числителе стоит куб суммы \((a + b)^{3}\), а в знаменателе сумма кубов \(a^{3} + b^{3}\). Раскроем куб суммы по формуле: \((a + b)^{3} = (a + b)(a^{2} + 2ab + b^{2})\). Знаменатель раскроем по формуле суммы кубов: \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\).

Подставляем эти выражения: \(\frac{(a + b)(a^{2} + 2ab + b^{2})}{(a + b)(a^{2} — ab + b^{2})}\). Сокращаем множитель \(a + b\), предполагая \(a \neq -b\), и получаем дробь \(\frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} — ab + b^{2}}\), что и является окончательным ответом.

г) В числителе разность кубов \(a^{3} — b^{3}\), а в знаменателе разность квадратов \(a^{2} — b^{2}\). Используем формулы: \(a^{3} — b^{3} = (a — b)(a^{2} + ab + b^{2})\) и \(a^{2} — b^{2} = (a — b)(a + b)\).

Подставляем: \(\frac{(a — b)(a^{2} + ab + b^{2})}{(a — b)(a + b)}\). Сокращаем множитель \(a — b\), учитывая, что \(a \neq b\), и остаётся дробь \(\frac{a^{2} + ab + b^{2}}{a + b}\), что и является итогом.