ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 331 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:
а) число \(\sqrt{5}\) больше 2;
б) число \(\sqrt{5{,}2}\) меньше 2;
в) число \(\sqrt{170}\) меньше 13;
г) число \(\sqrt{39}\) больше числа \(\sqrt{38}\)?

а) \(\sqrt{5} > 2 \Rightarrow\) верно, потому что:
\(\left(\sqrt{5}\right)^2 > 2^2 \Leftrightarrow 5 > 4.\)

б) \(\sqrt{5,2} < 2 \Rightarrow\) неверно, потому что: \(\left(\sqrt{5,2}\right)^2 > 2^2 \Leftrightarrow 5,2 > 4.\)

в) \(\sqrt{170} < 13 \Rightarrow\) неверно, потому что: \(\left(\sqrt{170}\right)^2 > 13^2 \Leftrightarrow 170 > 169.\)

г) \(\sqrt{39} > \sqrt{38} \Rightarrow\) верно, потому что:
\(\left(\sqrt{39}\right)^2 > \left(\sqrt{38}\right)^2 \Leftrightarrow 39 > 38.\)

а) Рассмотрим неравенство \(\sqrt{5} > 2\). Чтобы проверить его истинность, возведём обе части в квадрат, так как функция возведения в квадрат является монотонно возрастающей на множестве неотрицательных чисел, и знак неравенства при этом сохраняется. Получаем:
\(\left(\sqrt{5}\right)^2 > 2^2\), что эквивалентно \(5 > 4\). Поскольку это неравенство истинно, исходное неравенство \(\sqrt{5} > 2\) также верно.

Это объясняется тем, что корень квадратный из числа — это такое значение, которое при возведении в квадрат даёт исходное число. Таким образом, сравнивать корни можно через сравнение их квадратов, если числа неотрицательные, что и применено здесь.

б) Рассмотрим неравенство \(\sqrt{5,2} < 2\). Для проверки возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе величины неотрицательны, следовательно, знак неравенства сохраняется: \(\left(\sqrt{5,2}\right)^2 < 2^2 \Leftrightarrow 5,2 < 4\). Однако \(5,2\) больше \(4\), а значит, полученное неравенство неверно. Следовательно, исходное неравенство \(\sqrt{5,2} < 2\) также неверно. Это показывает, что исходное предположение о том, что корень из 5,2 меньше 2, ошибочно, так как квадрат корня равен самому числу под корнем, и оно больше 4. в) Проверим неравенство \(\sqrt{170} < 13\). Возведём обе части в квадрат: \(\left(\sqrt{170}\right)^2 < 13^2 \Leftrightarrow 170 < 169\). Так как \(170\) больше \(169\), полученное неравенство ложно. Значит, исходное неравенство \(\sqrt{170} < 13\) не выполняется. Возведение в квадрат помогает нам сравнить значения под корнем с квадратом числа, что упрощает проверку неравенств с корнями. г) Рассмотрим неравенство \(\sqrt{39} > \sqrt{38}\). Поскольку обе величины неотрицательны, возведём обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства:
\(\left(\sqrt{39}\right)^2 > \left(\sqrt{38}\right)^2 \Leftrightarrow 39 > 38\).

Это неравенство истинно, следовательно, исходное неравенство \(\sqrt{39} > \sqrt{38}\) также верно. Такой метод проверки удобен для сравнения корней, так как возведение в квадрат устраняет корень и позволяет работать с простыми числами.