ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 334 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выберите из отмеченных точек те, которые соответствуют числам \(\sqrt{159}\) и \(\sqrt{127}\) (рис. 16).

$$144<159<169 \Rightarrow 12<\sqrt{159}<13;$$ $$158{,}76<159<161{,}29 \Rightarrow 12{,}6<\sqrt{159}<12{,}7.$$ $$121<127<144 \Rightarrow 11<\sqrt{127}<12;$$ $$125{,}44<127<127{,}69 \Rightarrow 11{,}2<\sqrt{127}<11{,}3.$$

Неравенство \(144<159<169\) получаем так: подбираем ближайшие целые квадраты вокруг числа \(159\). Так как \(12^2=144\), а \(13^2=169\), и видно, что \(144<159<169\), то число \(159\) лежит между квадратами \(12^2\) и \(13^2\). Поскольку на промежутке неотрицательных чисел функция \(x\mapsto x^2\) возрастает, то из \(12^2<159<13^2\) при извлечении квадратного корня (для положительных чисел) сохраняется порядок: \(12<\sqrt{159}<13\). Это и записано в первой строке: \(144<159<169 \Rightarrow 12<\sqrt{159}<13\). Чтобы уточнить границы до десятых, берём числа \(12{,}6\) и \(12{,}7\) и проверяем их квадраты: \(12{,}6^2=158{,}76\), \(12{,}7^2=161{,}29\). Видим, что \(158{,}76<159<161{,}29\), значит \(159\) лежит между квадратами \(12{,}6^2\) и \(12{,}7^2\). По той же причине (возрастание квадрата на \(x\ge 0\)) из \(12{,}6^2<159<12{,}7^2\) следует \(12{,}6<\sqrt{159}<12{,}7\). Поэтому во второй строке получается: \(158{,}76<159<161{,}29 \Rightarrow 12{,}6<\sqrt{159}<12{,}7\). Далее аналогично для числа \(127\): сначала ограничиваем его целыми квадратами. Так как \(11^2=121\), \(12^2=144\), и \(121<127<144\), то \(127\) находится между \(11^2\) и \(12^2\), то есть \(121<127<144 \Rightarrow 11<\sqrt{127}<12\). Для уточнения до десятых проверяем квадраты \(11{,}2\) и \(11{,}3\): \(11{,}2^2=125{,}44\), \(11{,}3^2=127{,}69\). Поскольку \(125{,}44<127<127{,}69\), число \(127\) лежит между \(11{,}2^2\) и \(11{,}3^2\). Снова извлекаем корень, сохраняя знак неравенства на \(x\ge 0\): из \(11{,}2^2<127<11{,}3^2\) получаем \(11{,}2<\sqrt{127}<11{,}3\). Поэтому записывается: \(125{,}44<127<127{,}69 \Rightarrow 11{,}2<\sqrt{127}<11{,}3\).