ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 336 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:
а) \(\sqrt{5 — 3}\);
б) \(\sqrt{4 — \sqrt{12}}\)?

а) \(\sqrt{\sqrt{5} — 3} = \sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{9}}\) — не имеет смысла.

Подкоренное выражение \(\sqrt{5} — 3 \approx 2,236 — 3 = -0,764 < 0\), поэтому корень четной степени не определен на множестве действительных чисел. б) \(\sqrt{4 - \sqrt{12}} = \sqrt{\sqrt{16} - \sqrt{12}}\) — имеет смысл. Подкоренное выражение \(4 - \sqrt{12} \approx 4 - 3,464 = 0,536 > 0\), поэтому корень определен.

а) \(\sqrt{\sqrt{5} — 3} = \sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{9}}\) — не имеет смысла.

Для того чтобы понять, почему это выражение не имеет смысла в области действительных чисел, необходимо проанализировать подкоренное выражение. Вычислим численное значение: \(\sqrt{5} \approx 2,236\), поэтому \(\sqrt{5} — 3 \approx 2,236 — 3 = -0,764\). Получается отрицательное число под знаком корня четной степени (в данном случае квадратного корня). Согласно определению корня четной степени на множестве действительных чисел, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Поскольку \(\sqrt{5} < 3\), разность \(\sqrt{5} - 3\) всегда будет отрицательной величиной. Это означает, что мы пытаемся извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что невозможно в области действительных чисел. Выражение \(\sqrt{\sqrt{5} - 3}\) не определено и не имеет смысла. Проверка через альтернативную запись \(\sqrt{\sqrt{5} - \sqrt{9}}\) подтверждает то же самое, так как \(\sqrt{9} = 3\), и мы снова получаем корень из отрицательного числа. б) \(\sqrt{4 - \sqrt{12}} = \sqrt{\sqrt{16} - \sqrt{12}}\) — имеет смысл. В этом случае необходимо проверить знак подкоренного выражения. Сначала вычислим \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1,732 = 3,464\). Тогда подкоренное выражение равно \(4 - \sqrt{12} \approx 4 - 3,464 = 0,536\). Это положительное число, что удовлетворяет условию для корня четной степени. Проверим через альтернативную запись: \(\sqrt{16} = 4\) и \(\sqrt{12} \approx 3,464\), поэтому \(\sqrt{16} - \sqrt{12} \approx 4 - 3,464 = 0,536 > 0\). Поскольку подкоренное выражение положительно, корень определен и имеет смысл. Более того, можно даже вычислить приблизительное значение: \(\sqrt{4 — \sqrt{12}} \approx \sqrt{0,536} \approx 0,732\). Таким образом, выражение корректно определено на множестве действительных чисел и имеет вполне конкретное численное значение.