ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 338 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Длина стороны \(a_8\) правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса \(R\), вычисляется по формуле \(a_8 = R\sqrt{2 — \sqrt{2}}\). Найдите \(a_8\) с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если:
а) \(R = 9,4\) см;
б) \(R = 10,5\) см.

\( a_8 = R\sqrt{2 — \sqrt{2}} \)

\( a_8 = R\sqrt{2 — 1,41} \)

\( a_8 = R\sqrt{0,59} \)

\( a_8 = R \cdot 0,77 \)

а) \( R = 9,4 \) см

\( a_8 = 9,4 \cdot 0,77 \approx 7,24 \) см

б) \( R = 10,5 \) см

\( a_8 = 10,5 \cdot 0,77 = 8,09 \) см

Данная задача связана с нахождением стороны правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса \(R\). Формула для стороны правильного многоугольника, вписанного в окружность, имеет вид \(a_n = 2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\), где \(n\) — количество сторон. Для восьмиугольника подставляем \(n = 8\) и получаем \(a_8 = 2R\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\). Угол \(\frac{\pi}{8}\) радиан равен \(22,5°\), и его синус необходимо вычислить через известные тригонометрические формулы. Используя формулу половинного угла \(\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos\alpha}{2}}\), где \(\alpha = \frac{\pi}{4}\), получаем \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}}\). Поскольку \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), подставляем это значение и получаем \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}\).

Таким образом, формула для стороны восьмиугольника принимает вид \(a_8 = 2R \cdot \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} = R\sqrt{2 — \sqrt{2}}\). Это точное выражение, которое можно упростить численно. Вычислим подкоренное выражение: \(\sqrt{2} \approx 1,414\), поэтому \(2 — \sqrt{2} \approx 2 — 1,41 = 0,59\). Тогда \(\sqrt{0,59} \approx 0,768\), что округляется до \(0,77\). Следовательно, формула упрощается до \(a_8 = R \cdot 0,77\), где коэффициент \(0,77\) — это приближённое значение \(\sqrt{2 — \sqrt{2}}\).

а) При радиусе \(R = 9,4\) см подставляем значение в формулу: \(a_8 = 9,4 \cdot 0,77\). Выполняя умножение, получаем \(9,4 \cdot 0,77 = 7,238\), что при округлении до сотых даёт \(a_8 \approx 7,24\) см. Это означает, что каждая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиусом \(9,4\) см, имеет длину приблизительно \(7,24\) сантиметра. Полученный результат логичен, так как сторона вписанного многоугольника всегда меньше диаметра окружности, равного \(2R = 18,8\) см.

б) При радиусе \(R = 10,5\) см применяем ту же формулу: \(a_8 = 10,5 \cdot 0,77\). Вычисляя произведение, получаем \(10,5 \cdot 0,77 = 8,085\), что при округлении даёт \(a_8 = 8,09\) см. Увеличение радиуса на \(1,1\) см привело к увеличению стороны восьмиугольника на примерно \(0,85\) см, что соответствует линейной зависимости между радиусом и стороной многоугольника. Таким образом, сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиусом \(10,5\) см, составляет \(8,09\) сантиметра.