ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 340 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Время \(t\) (с) полного колебания маятника вычисляется по формуле \(t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\), где \(l\) (см) — длина маятника, \(g \approx 10\) м/с\(^2\), \(\pi = 3,14\). Найдите \(t\) с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если \(l\) равно:
а) 22;
б) 126.

\( t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \)

\( t = 2 \cdot 3,14\sqrt{\frac{l}{10}} \)

\( t = 6,28\sqrt{0,1l} = 6,28 \cdot 0,32\sqrt{l} = 2,01\sqrt{l} \)

а) \( l = 22 \)

\( t = 2,01\sqrt{22} = 2,01 \cdot 4,7 \approx 9,4 \) с.

б) \( l = 126 \)

\( t = 2,01\sqrt{126} = 2,01 \cdot 11,2 \approx 22,5 \) с.

Данная задача посвящена расчету периода колебаний математического маятника по формуле \( t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \), где \( t \) — период колебаний в секундах, \( l \) — длина нити маятника в метрах, а \( g \) — ускорение свободного падения, которое принимается равным 10 м/с². Эта формула является фундаментальной в физике и показывает, что период колебаний зависит только от длины маятника и не зависит от амплитуды колебаний или массы груза. Подставляя значение \( g = 10 \) м/с², мы получаем упрощенную формулу, которая позволяет быстро вычислять период для различных длин маятника.

Начнем с преобразования исходной формулы. Подставим \( g = 10 \) м/с² и \( \pi \approx 3,14 \): \( t = 2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{l}{10}} \). Упростим это выражение, вынеся константы из-под корня: \( t = 6,28 \sqrt{\frac{l}{10}} = 6,28 \cdot \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{10}} = 6,28 \cdot \frac{\sqrt{l}}{3,16} \approx 2,01\sqrt{l} \). Таким образом, мы получили рабочую формулу \( t = 2,01\sqrt{l} \), которая значительно упрощает вычисления. Коэффициент 2,01 получается из произведения \( 6,28 \cdot 0,32 \), где 0,32 — это приближенное значение \( \frac{1}{\sqrt{10}} \). Эта формула показывает, что период пропорционален квадратному корню из длины маятника, то есть при увеличении длины в четыре раза период увеличится только в два раза.

а) Для первого случая с длиной маятника \( l = 22 \) м необходимо подставить это значение в полученную формулу. Вычисляем: \( t = 2,01\sqrt{22} \). Квадратный корень из 22 приблизительно равен 4,69, что округляется до 4,7. Тогда \( t = 2,01 \cdot 4,7 = 9,447 \) секунд, что при округлении до одного десятичного знака дает \( t \approx 9,4 \) с. Этот результат означает, что маятник длиной 22 метра совершает одно полное колебание (туда и обратно) примерно за 9,4 секунды. Такие маятники используются в некоторых научных приборах и демонстрационных установках для наглядного изучения периодических процессов.

б) Для второго случая с длиной маятника \( l = 126 \) м применяем ту же формулу: \( t = 2,01\sqrt{126} \). Вычисляем квадратный корень: \( \sqrt{126} \approx 11,22 \), что округляется до 11,2. Подставляя в формулу, получаем \( t = 2,01 \cdot 11,2 = 22,512 \) секунд, что при округлении дает \( t \approx 22,5 \) с. Маятник такой значительной длины (126 метров) колеблется гораздо медленнее, и один полный период занимает примерно 22,5 секунды. Сравнивая оба результата, видно, что при увеличении длины маятника с 22 до 126 метров (примерно в 5,7 раза) период увеличивается с 9,4 до 22,5 секунд (примерно в 2,4 раза), что соответствует квадратичной зависимости периода от длины, предусмотренной формулой.