ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 341 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите данные уравнения и укажите те из них, у которых оба корня не превосходят числа 2:
а) \(x^2 = 30\);
б) \(7x^2 = 10\);
в) \(0,2x^2 = 3\).

а) \( x^2 = 30 \) \( x = \pm\sqrt{30} \) \( x = \pm5,48 \)

б) \( 7x^2 = 10 \) \( x = \pm\sqrt{\frac{10}{7}} = \pm\sqrt{1,43} \) \( x = \pm1,20 \)

в) \( (x — 3)^2 = 12 \) \( x — 3 = \pm\sqrt{12} \) \( x = \pm3,46 + 3 \) \( x = -0,46, \) \( x = 6,46 \)

г) \( (x + 1)^2 = 8 \) \( x + 1 = \pm\sqrt{8} \) \( x = \pm2,83 — 1 \) \( x = -3,83, \) \( x = 1,83 \)

а) Уравнение \( x^2 = 30 \) решается путём извлечения квадратного корня из обеих частей. Поскольку под корнем стоит положительное число, получаем два решения: положительное и отрицательное. Применяя операцию извлечения корня, имеем \( x = \pm\sqrt{30} \). Число 30 не является полным квадратом, поэтому корень остаётся в радикальной форме, но его можно вычислить приближённо.

Для получения десятичного приближения вычисляем \( \sqrt{30} \approx 5,477 \), что округляется до 5,48. Таким образом, два корня уравнения равны \( x = 5,48 \) и \( x = -5,48 \). Проверка: \( (5,48)^2 \approx 30,03 \approx 30 \) и \( (-5,48)^2 \approx 30,03 \approx 30 \), что подтверждает корректность решения.

б) Уравнение \( 7x^2 = 10 \) сначала приводится к стандартному виду путём деления обеих частей на коэффициент 7. Получаем \( x^2 = \frac{10}{7} \). Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей, что даёт \( x = \pm\sqrt{\frac{10}{7}} \). Дробь под корнем можно представить как отношение корней: \( x = \pm\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7}} \).

Для вычисления численного значения находим \( \frac{10}{7} \approx 1,4286 \), поэтому \( \sqrt{\frac{10}{7}} \approx \sqrt{1,43} \approx 1,196 \), что округляется до 1,20. Следовательно, решения уравнения: \( x = 1,20 \) и \( x = -1,20 \). Проверка показывает, что \( 7 \cdot (1,20)^2 = 7 \cdot 1,44 = 10,08 \approx 10 \), что подтверждает правильность вычислений.

в) Уравнение \( (x — 3)^2 = 12 \) содержит квадрат двучлена. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \( x — 3 = \pm\sqrt{12} \). Упрощаем радикал: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \approx 3,464 \), что округляется до 3,46. Таким образом, имеем два случая: \( x — 3 = 3,46 \) и \( x — 3 = -3,46 \).

Решая каждое уравнение, переносим 3 в правую часть. Из первого случая: \( x = 3,46 + 3 = 6,46 \). Из второго случая: \( x = -3,46 + 3 = -0,46 \). Проверка первого корня: \( (6,46 — 3)^2 = (3,46)^2 \approx 11,97 \approx 12 \). Проверка второго корня: \( (-0,46 — 3)^2 = (-3,46)^2 \approx 11,97 \approx 12 \), что подтверждает оба решения.

г) Уравнение \( (x + 1)^2 = 8 \) также содержит квадрат двучлена. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \( x + 1 = \pm\sqrt{8} \). Упрощаем радикал: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2,828 \), что округляется до 2,83. Это даёт нам два случая: \( x + 1 = 2,83 \) и \( x + 1 = -2,83 \).

Решая первый случай, вычитаем 1 из обеих частей: \( x = 2,83 — 1 = 1,83 \). Решая второй случай: \( x = -2,83 — 1 = -3,83 \). Проверка первого корня: \( (1,83 + 1)^2 = (2,83)^2 \approx 8,01 \approx 8 \). Проверка второго корня: \( (-3,83 + 1)^2 = (-2,83)^2 \approx 8,01 \approx 8 \), что подтверждает корректность обоих решений.