ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 343 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(x+[x]\), если \(x=7; 10; 0; -3; -8\). Упростите выражение \(x+[x]\), если: a) \(x>0\); б) \(x<0\).

а) \(x \geq 0\)

\(x + |x| = x + x = 2x\)

б) \(x < 0\)

\(x + |x| = -x + |-x| = -x + x = 0\)

Примеры:
\(x + |x| = 7 + |7| = 7 + 7 = 14\)
\(x + |x| = 10 + |10| = 10 + 10 = 20\)
\(x + |x| = 0 + |0| = 0 + 0 = 0\)
\(x + |x| = -3 + |-3| = -3 + 3 = 0\)
\(x + |x| = -8 + |-8| = -8 + 8 = 0\)

а) При условии \(x \geq 0\) модуль числа \(x\) равен самому числу, то есть \(|x| = x\). Это означает, что когда мы складываем \(x + |x|\), мы фактически складываем \(x + x\), что дает нам \(2x\). Такое правило работает для всех неотрицательных чисел: если взять любое число больше нуля или равное нулю, его модуль совпадает с самим числом, поэтому сумма всегда будет удвоенным исходным числом.

Проверим на конкретных примерах: когда \(x = 7\), получаем \(7 + |7| = 7 + 7 = 14\), что соответствует формуле \(2 \cdot 7 = 14\). Когда \(x = 10\), имеем \(10 + |10| = 10 + 10 = 20\), что равно \(2 \cdot 10 = 20\). Даже при \(x = 0\) формула работает: \(0 + |0| = 0 + 0 = 0 = 2 \cdot 0\). Таким образом, для любого неотрицательного \(x\) выражение \(x + |x|\) всегда упрощается до \(2x\).

б) Когда \(x < 0\), то есть когда число отрицательное, модуль этого числа равен его противоположности, то есть \(|x| = -x\). Это определение модуля: он всегда возвращает неотрицательное значение. Поэтому при сложении \(x + |x|\) мы получаем \(x + (-x) = 0\). Сумма числа и его противоположности всегда равна нулю, независимо от того, насколько велико исходное отрицательное число. Рассмотрим примеры с отрицательными значениями: при \(x = -3\) вычисляем \(-3 + |-3| = -3 + 3 = 0\), что соответствует нашему правилу. При \(x = -8\) получаем \(-8 + |-8| = -8 + 8 = 0\). Даже при \(x = 0\) (граничный случай) формула дает \(0 + |0| = 0 + 0 = 0\). Таким образом, для всех отрицательных чисел выражение \(x + |x|\) всегда обращается в нуль, потому что мы складываем число с его противоположностью. Итоговое решение можно сформулировать так: выражение \(x + |x|\) принимает два различных значения в зависимости от знака переменной. Если \(x \geq 0\), то \(x + |x| = 2x\), а если \(x < 0\), то \(x + |x| = 0\). Это происходит потому, что определение модуля различается для положительных и отрицательных чисел: модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен его противоположности. Такое поведение функции \(x + |x|\) демонстрирует, как модуль влияет на результат арифметических операций и почему важно учитывать знак числа при работе с абсолютными значениями.