ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 344 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

a) \(\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}\);

б) \(\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}\).

а) \(\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2} = \frac{(2a-5)^2}{(5-2a)(5+2a)} = \frac{(5-2a)^2}{(5-2a)(5+2a)} = \frac{5-2a}{5+2a}\);

б) \(\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2} = \frac{(3x-2y)^2}{(2y-3x)(2y+3x)} = \frac{(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)} = \frac{2y-3x}{2y+3x}\).

а) Для упрощения дроби \(\frac{4a^2-20a+25}{25-4a^2}\) необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель представляет собой полный квадрат: \(4a^2-20a+25 = (2a)^2 — 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = (2a-5)^2\). Знаменатель является разностью квадратов: \(25-4a^2 = 5^2 — (2a)^2 = (5-2a)(5+2a)\). Таким образом, получаем \(\frac{(2a-5)^2}{(5-2a)(5+2a)}\).

Заметим, что \((2a-5)^2 = (-(5-2a))^2 = (5-2a)^2\), поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного. Подставляя это, имеем \(\frac{(5-2a)^2}{(5-2a)(5+2a)}\). Сокращаем общий множитель \((5-2a)\) в числителе и знаменателе, получая \(\frac{5-2a}{5+2a}\). Это выражение больше не поддаётся упрощению, так как числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

б) Для упрощения дроби \(\frac{9x^2+4y^2-12xy}{4y^2-9x^2}\) начнём с разложения числителя. Переписав его в виде \(9x^2 — 12xy + 4y^2\), видим полный квадрат разности: \((3x)^2 — 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x-2y)^2\). Знаменатель также разложим как разность квадратов: \(4y^2 — 9x^2 = (2y)^2 — (3x)^2 = (2y-3x)(2y+3x)\).

Исходная дробь принимает вид \(\frac{(3x-2y)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}\). Заметим, что \((3x-2y) = -(2y-3x)\), поэтому \((3x-2y)^2 = (-(2y-3x))^2 = (2y-3x)^2\). Подставляя это преобразование, получаем \(\frac{(2y-3x)^2}{(2y-3x)(2y+3x)}\). Сокращаем общий множитель \((2y-3x)\) из числителя и знаменателя, в результате чего получаем окончательный ответ \(\frac{2y-3x}{2y+3x}\). Это выражение уже находится в несократимом виде.