ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 345 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Площадь круга может быть вычислена по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус круга, или по формуле \(S = \frac{\pi d^2}{4}\), где \(d\) — диаметр круга. Задайте формулой зависимость: а) \(r\) от \(S\); б) \(d\) от \(S\).

а) \(S = \pi r^2\)

\(r^2 = \frac{S}{\pi}\)

\(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

б) \(S = \frac{\pi d^2}{4}\)

\(\pi d^2 = 4S\)

\(d^2 = \frac{4S}{\pi}\)

\(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\)

\(d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\)

а) Для нахождения радиуса круга через его площадь необходимо использовать формулу площади круга и выполнить алгебраические преобразования. Исходная формула площади круга имеет вид \(S = \pi r^2\), где \(S\) — площадь, а \(r\) — радиус круга. Чтобы выразить радиус через площадь, нужно разделить обе части уравнения на \(\pi\), что даст нам \(r^2 = \frac{S}{\pi}\). Это преобразование основано на свойстве равенств: если обе части уравнения разделить на одно и то же число, равенство сохранится.

После получения выражения \(r^2 = \frac{S}{\pi}\) необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус — величина положительная, мы берём только положительный корень. Таким образом, получаем формулу \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\). Эта формула позволяет найти радиус круга, если известна его площадь. Например, если площадь круга равна \(12\pi\) квадратных единиц, то радиус будет равен \(\sqrt{\frac{12\pi}{\pi}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) единиц.

б) Для нахождения диаметра круга через его площадь применяется аналогичный метод, но с учётом связи между диаметром и радиусом. Исходная формула площади через диаметр записывается как \(S = \frac{\pi d^2}{4}\), где \(d\) — диаметр круга. Это выражение получается из стандартной формулы \(S = \pi r^2\) путём подстановки \(r = \frac{d}{2}\), что даёт \(S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\). Чтобы выразить диаметр, нужно сначала умножить обе части уравнения на 4, получив \(\pi d^2 = 4S\).

Затем обе части делятся на \(\pi\), что приводит к выражению \(d^2 = \frac{4S}{\pi}\). На следующем этапе извлекаем квадратный корень из обеих частей: \(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\). Это выражение можно упростить, заметив, что \(\sqrt{4} = 2\), поэтому \(d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\). Полученная формула показывает, что диаметр в два раза больше подкоренного выражения, что логично, так как диаметр всегда в два раза больше радиуса. Если площадь круга составляет \(25\pi\) квадратных единиц, то диаметр равен \(2\sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10\) единиц.