ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 347 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Площадь поверхности шара радиуса \(R\) вычисляется по формуле \(S = 4\pi R^2\). Задайте формулой зависимость \(R\) от \(S\).

Дано формулы для площади сферы и радиуса:

\( S = 4\pi R^2 \)

Из формулы площади выражаем \( R^2 \):

\( R^2 = \frac{S}{4\pi} \)

Извлекаем квадратный корень:

\( R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} \)

Упрощаем корень дроби:

\( R = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{4\pi}} = \frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi}} \)

Рационализируем знаменатель, умножив на \( \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} \):

\( R = \frac{\sqrt{S} \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{S\pi}}{2\pi} \)

Или в альтернативной форме:

\( R = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}} \)

Исходная задача требует преобразования формулы площади сферы для выражения радиуса через площадь поверхности. Начнём с основной формулы площади сферы \( S = 4\pi R^2 \), которая описывает полную площадь поверхности сферы радиусом \( R \). Эта формула является фундаментальной в геометрии и получается интегрированием элементов поверхности сферы в сферических координатах. Для решения задачи нам необходимо выразить неизвестный радиус \( R \) через известную площадь \( S \), используя алгебраические преобразования и свойства степеней и корней.

Первый этап решения заключается в изоляции члена \( R^2 \) путём деления обеих частей уравнения на коэффициент \( 4\pi \). Из формулы \( S = 4\pi R^2 \) получаем \( R^2 = \frac{S}{4\pi} \). Это преобразование основано на принципе сохранения равенства: если мы выполняем одинаковые операции с обеими частями уравнения, равенство остаётся верным. Коэффициент \( 4\pi \) является произведением числового множителя 4 и иррационального числа \( \pi \approx 3,14159… \), которое описывает отношение длины окружности к её диаметру. Таким образом, мы получили выражение для квадрата радиуса в терминах площади.

Второй этап предполагает извлечение квадратного корня из обеих частей полученного уравнения. Поскольку радиус \( R \) является положительной величиной (длина не может быть отрицательной), мы берём только положительный корень: \( R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} \). Операция извлечения корня является обратной операцией возведения в квадрат и позволяет нам перейти от \( R^2 \) к \( R \). Важно отметить, что под знаком корня находится дробь, поэтому мы можем применить свойство корня из дроби: корень из дроби равен дроби из корней.

Третий этап заключается в упрощении полученного выражения путём разделения корня дроби на корень числителя и корень знаменателя: \( R = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{4\pi}} \). Числитель остаётся как \( \sqrt{S} \), так как \( S \) является переменной величиной. Знаменатель можно упростить, заметив, что \( \sqrt{4\pi} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\pi} = 2\sqrt{\pi} \), поскольку 4 является полным квадратом числа 2. Таким образом, получаем промежуточное выражение \( R = \frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi}} \).

Четвёртый этап направлен на рационализацию знаменателя, то есть избавление от иррационального числа в знаменателе дроби. Для этого мы умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{\pi} \): \( R = \frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{S} \cdot \sqrt{\pi}}{2\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}} \). В числителе произведение корней преобразуется в корень произведения: \( \sqrt{S} \cdot \sqrt{\pi} = \sqrt{S\pi} \). В знаменателе произведение \( \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi \) по определению квадратного корня. Следовательно, получаем \( R = \frac{\sqrt{S\pi}}{2\pi} \).

Пятый этап предусматривает представление результата в альтернативной форме, которая часто более удобна для практического использования. Возвращаясь к исходному выражению \( R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}} \), можно переписать его как \( R = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}} \), поскольку \( \sqrt{\frac{S}{4\pi}} = \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{4\pi}} = \frac{\sqrt{S}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}} \). Эта форма записи часто предпочтительнее, так как явно показывает коэффициент \( \frac{1}{2} \) и более компактно представляет зависимость радиуса от площади. Обе формы \( R = \frac{\sqrt{S\pi}}{2\pi} \) и \( R = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi}} \) математически эквивалентны и могут использоваться в зависимости от контекста задачи.