ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 349 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графика функции \(y = \sqrt{x}\) найдите:

а) значение функции при \(x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2\);

б) значение аргумента, которому соответствует значение \(y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3\).

а) \( x = 0,5, \) \( y = \sqrt{0,5} \approx 0,7 \); \( x = 1,5, \) \( y = \sqrt{1,5} \approx 1,22 \); \( x = 6,5, \) \( y = \sqrt{6,5} \approx 2,55 \); \( x = 7,2, \) \( y = \sqrt{7,2} \approx 2,7 \)

б) \( y = 0,5, \) \( x = 0,25 \); \( y = 1,5, \) \( x = 2,25 \); \( y = 1,8, \) \( x = 3,24 \); \( y = 2,3, \) \( x = 5,29 \)

Решение основано на функции \( y = \sqrt{x} \). В пункте а) по заданным значениям \( x \) находим \( y \), возводя \( x \) под корень. В пункте б) по заданным значениям \( y \) находим \( x \), возводя \( y \) в квадрат, так как \( x = y^2 \).

а) Функция \( y = \sqrt{x} \) представляет собой квадратный корень из переменной \( x \), определённая для всех неотрицательных значений. Для решения этой части задачи необходимо по заданным значениям аргумента \( x \) найти соответствующие значения функции \( y \). Это означает, что мы подставляем каждое значение \( x \) в формулу и вычисляем корень. Например, при \( x = 0,5 \) получаем \( y = \sqrt{0,5} \approx 0,707 \), что округляется до \( 0,7 \). При \( x = 1,5 \) вычисляем \( y = \sqrt{1,5} \approx 1,225 \), округляя до \( 1,22 \). Аналогично для \( x = 6,5 \) имеем \( y = \sqrt{6,5} \approx 2,550 \), что даёт \( 2,55 \), и для \( x = 7,2 \) получаем \( y = \sqrt{7,2} \approx 2,683 \), округляя до \( 2,7 \).

Процесс вычисления основан на определении квадратного корня как обратной операции к возведению в квадрат. Когда мы вычисляем \( \sqrt{x} \), мы ищем такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даст исходное значение \( x \). Графически эти точки располагаются на кривой функции \( y = \sqrt{x} \), которая начинается в начале координат и постепенно возрастает, но с убывающей скоростью роста. Все полученные значения положительны и увеличиваются по мере увеличения \( x \), что соответствует монотонно возрастающему характеру функции квадратного корня.

б) Во второй части задачи решается обратная задача: по заданным значениям функции \( y \) необходимо найти соответствующие значения аргумента \( x \). Поскольку \( y = \sqrt{x} \), то для нахождения \( x \) нужно возвести обе части уравнения в квадрат, получив \( x = y^2 \). Это преобразование справедливо, так как мы работаем с неотрицательными значениями. При \( y = 0,5 \) получаем \( x = (0,5)^2 = 0,25 \). При \( y = 1,5 \) вычисляем \( x = (1,5)^2 = 2,25 \). Для \( y = 1,8 \) имеем \( x = (1,8)^2 = 3,24 \). Наконец, при \( y = 2,3 \) получаем \( x = (2,3)^2 = 5,29 \).

Эта часть демонстрирует важное свойство функций: если функция \( y = f(x) \) имеет обратную функцию, то для нахождения значений обратной функции мы решаем уравнение относительно переменной \( x \). В данном случае обратной функцией к \( y = \sqrt{x} \) является \( x = y^2 \), определённая для \( y \geq 0 \). Все вычисленные значения \( x \) положительны и возрастают с увеличением \( y \), что логично, так как функция возведения в квадрат также монотонно возрастает на области неотрицательных чисел. Таким образом, мы видим взаимную связь между прямой и обратной функциями: если точка \( (a, b) \) лежит на графике функции \( y = \sqrt{x} \), то точка \( (b, a) \) лежит на графике функции \( x = y^2 \), что геометрически соответствует отражению относительно прямой \( y = x \).