ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 35 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{x^2 — 4x + 4}{x^2 — 2x}\);
б) \(\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}\);
в) \(\frac{a^2 + a + 1}{a^3 — 1}\);
г) \(\frac{b + 2}{b^3 + 8}\).

а) \( \frac{x^2 — 4x + 4}{x^2 — 2x} = \frac{(x-2)^2}{x(x-2)} = \frac{x-2}{x} \)

б) \( \frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64} = \frac{3y(y+8)}{(y+8)^2} = \frac{3y}{y+8} \)

в) \( \frac{a^2 + a + 1}{a^3 — 1} = \frac{a^2 + a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)} = \frac{1}{a-1} \)

г) \( \frac{b+2}{b^3 + 8} = \frac{b+2}{(b+2)(b^2 — 2b + 4)} = \frac{1}{b^2 — 2b + 4} \)

а) В данном выражении мы имеем дробь с многочленами в числителе и знаменателе: \( \frac{x^2 — 4x + 4}{x^2 — 2x} \). Для упрощения сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель \(x^2 — 4x + 4\) является полным квадратом и раскладывается как \((x — 2)^2\), так как \( (x-2)(x-2) = x^2 — 4x + 4\). Знаменатель \(x^2 — 2x\) можно вынести за скобку \(x\), получив \(x(x — 2)\). После разложения исходная дробь принимает вид \( \frac{(x-2)^2}{x(x-2)} \).

Далее сокращаем общий множитель \(x-2\) в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю (иначе дробь не определена). После сокращения остаётся \( \frac{x-2}{x} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до дроби с линейным числителем и знаменателем, что значительно облегчает дальнейшие вычисления или подстановки.

б) В этом примере дробь \( \frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64} \) также можно упростить, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе выделяем общий множитель \(3y\), получая \(3y(y+8)\). В знаменателе замечаем, что \(y^2 + 16y + 64\) — это полный квадрат, так как \(16y = 2 \cdot y \cdot 8\) и \(64 = 8^2\), значит, знаменатель равен \((y+8)^2\).

Подставляя полученные выражения, имеем дробь \( \frac{3y(y+8)}{(y+8)^2} \). Теперь можно сократить общий множитель \(y+8\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(y \neq -8\). После сокращения остаётся \( \frac{3y}{y+8} \), что и является упрощённым выражением.

в) Здесь рассматриваем дробь \( \frac{a^2 + a + 1}{a^3 — 1} \). Для упрощения нужно разложить знаменатель на множители. Заметим, что \(a^3 — 1\) — разность кубов, которая раскладывается по формуле \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). В нашем случае \(b=1\), значит \(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\).

Подставляя это в дробь, получаем \( \frac{a^2 + a + 1}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \). Теперь можно сократить общий множитель \(a^2 + a + 1\), если он не равен нулю. После сокращения остаётся выражение \( \frac{1}{a — 1} \), что и есть искомое упрощение.

г) В этом выражении дробь \( \frac{b + 2}{b^3 + 8} \) можно упростить, разложив знаменатель. Заметим, что \(b^3 + 8\) — сумма кубов, которая раскладывается по формуле \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). В нашем случае \(a = b\), \(b = 2\), значит \(b^3 + 8 = (b + 2)(b^2 — 2b + 4)\).

Подставляя это в дробь, получаем \( \frac{b + 2}{(b + 2)(b^2 — 2b + 4)} \). Можно сократить общий множитель \(b + 2\), если он не равен нулю. После сокращения остаётся \( \frac{1}{b^2 — 2b + 4} \), что и является упрощённым выражением.