ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 351 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Пересекает ли график функции \(y = \sqrt{x}\) прямая:

а) \(y = 1\); в) \(y = 100\);

б) \(y = 10\); г) \(y = -100\)?

Если пересекает, то в какой точке?

а) \( y = 1 \) — пересекает в точке \( 1 = \sqrt{x} \) \( \Rightarrow \) \( x = 1, \) \( (1; 1) \)

б) \( y = 10 \) — пересекает в точке \( 10 = \sqrt{x} \) \( \Rightarrow \) \( x = 100, \) \( (100; 10) \)

в) \( y = 100 \) — пересекает в точке \( 100 = \sqrt{x} \) \( \Rightarrow \) \( x = 10000, \) \( (10\,000; 100) \)

г) \( y = -100 \) — не пересекает.

а) Для нахождения точки пересечения графика функции \( y = \sqrt{x} \) с горизонтальной прямой \( y = 1 \) необходимо приравнять эти два выражения. Получаем уравнение \( 1 = \sqrt{x} \), которое решается возведением обеих частей в квадрат. После возведения в квадрат получаем \( 1^2 = x \), откуда \( x = 1 \). Таким образом, точка пересечения имеет координаты \( (1; 1) \), где первая координата — это значение аргумента \( x \), а вторая — значение функции \( y \).

Проверка корректности решения показывает, что при подстановке \( x = 1 \) в функцию \( y = \sqrt{x} \) получаем \( y = \sqrt{1} = 1 \), что совпадает с заданным значением \( y = 1 \). Это подтверждает, что точка \( (1; 1) \) действительно является точкой пересечения графика функции квадратного корня с горизонтальной линией на высоте единицы.

б) Аналогично предыдущему случаю, для нахождения пересечения графика \( y = \sqrt{x} \) с прямой \( y = 10 \) приравниваем эти выражения: \( 10 = \sqrt{x} \). Возводим обе части уравнения в квадрат, получая \( 10^2 = x \), следовательно, \( x = 100 \). Точка пересечения имеет координаты \( (100; 10) \), где абсцисса равна 100, а ордината равна 10.

Проверим решение: подставляя \( x = 100 \) в формулу функции, получаем \( y = \sqrt{100} = 10 \), что полностью соответствует требуемому значению. Таким образом, при увеличении высоты горизонтальной прямой с 1 до 10 точка пересечения переместилась с абсциссой от 1 до 100, что демонстрирует квадратичный характер роста функции квадратного корня.

в) Для определения точки пересечения графика \( y = \sqrt{x} \) с прямой \( y = 100 \) составляем уравнение \( 100 = \sqrt{x} \). Возведение обеих частей в квадрат дает \( 100^2 = x \), откуда \( x = 10000 \). Координаты точки пересечения составляют \( (10000; 100) \), где абсцисса равна десяти тысячам, а ордината равна сотне.

Подставляя найденное значение \( x = 10000 \) обратно в функцию, получаем \( y = \sqrt{10000} = 100 \), что подтверждает корректность решения. Заметим, что при возрастании значения \( y \) с 1 до 100 (в 100 раз) соответствующее значение \( x \) возрастает с 1 до 10000 (в 10000 раз), что иллюстрирует нелинейный характер функции квадратного корня и показывает, что большие значения аргумента требуются для достижения относительно скромных значений функции.

г) При рассмотрении пересечения графика \( y = \sqrt{x} \) с горизонтальной прямой \( y = -100 \) возникает принципиальное препятствие. Функция квадратного корня \( y = \sqrt{x} \) по определению принимает только неотрицательные значения, то есть \( y \geq 0 \) для всех допустимых значений аргумента \( x \geq 0 \). Это означает, что график функции полностью располагается в верхней полуплоскости координатной системы, не опускаясь ниже оси абсцисс.

Поскольку прямая \( y = -100 \) находится в нижней полуплоскости и имеет отрицательное значение ординаты, она не может иметь общих точек с графиком функции квадратного корня. Следовательно, пересечение отсутствует, и решение уравнения \( -100 = \sqrt{x} \) не существует ни при каких значениях \( x \). Это демонстрирует важное свойство функции квадратного корня: её область значений ограничена неотрицательными числами, что исключает возможность пересечения с любой прямой, расположенной ниже оси абсцисс.