ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 352 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что графики функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x + 0,5\) не имеют общих точек.

Если графики пересекаются, то:

\( \sqrt{x} = x + 0,5 \)

\( x = (x + 0,5)^2 \)

\( x = x^2 + x + 0,25 \)

\( x^2 + x — x = -0,25 \)

\( x^2 = -0,25 \)

корней нет.

Следовательно, данные графики не имеют точек пересечения.

Для решения этой задачи необходимо найти точки пересечения двух функций: \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x + 0,5 \). Точки пересечения графиков существуют только в том случае, если существуют значения переменной \( x \), при которых обе функции принимают одинаковые значения. Поэтому мы приравниваем правые части уравнений: \( \sqrt{x} = x + 0,5 \). Это уравнение является ключевым для определения наличия или отсутствия точек пересечения графиков.

Чтобы избавиться от корня и получить алгебраическое уравнение, возведём обе части исходного уравнения в квадрат. При возведении в квадрат получаем: \( x = (x + 0,5)^2 \). Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы: \( x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 0,5 + 0,5^2 \), что даёт нам \( x = x^2 + x + 0,25 \). Перенесём все члены в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: \( x — x^2 — x — 0,25 = 0 \). После приведения подобных членов (слагаемые \( x \) и \( -x \) взаимно уничтожаются) получаем: \( -x^2 — 0,25 = 0 \), или эквивалентно \( x^2 = -0,25 \).

Полученное уравнение \( x^2 = -0,25 \) не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Отрицательное число \( -0,25 \) не может быть результатом возведения в квадрат ни одного действительного числа. Следовательно, исходное уравнение \( \sqrt{x} = x + 0,5 \) не имеет корней, что означает, что графики функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x + 0,5 \) не пересекаются ни в одной точке. Графики этих двух функций не имеют общих точек на координатной плоскости.