Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 353 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:
а) \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x\); в) \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x + 10\);
б) \(y = \sqrt{x}\) и \(y = 1000\); г) \(y = \sqrt{x}\) и \(y = -x + 1,5\)?
При положительном ответе укажите координаты этих точек.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции \(y = \sqrt{x}\); пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.
а) \(\sqrt{x} = x\)
\(x = x^2\)
\(x^2 — x = 0\)
\(x(x — 1) = 0\)
\(x = 0, \quad x = 1\)
Точки пересечения: \((0; 0), (1; 1)\).
б) \(\sqrt{x} = 1000\)
\(x = 1\,000\,000\)
Точка пересечения: \((1\,000\,000; 1\,000)\).
в) \(\sqrt{x} = x + 10\)
\(x = (x + 10)^2\)
\(x = x^2 + 20x + 100\)
\(x^2 + 20x — x = -100\)
\(x^2 + 19x + 100 = 0\)
\(D = 361 — 400 < 0\) — корней нет.
Точек пересечения нет.
г) \(\sqrt{x} = -x + 1,5\)
\(x = (-x + 1,5)^2\)
\(x = x^2 — 3x + 2,25\)
\(x^2 — 3x — x = -2,25\)
\(x^2 — 4x + 2,25 = 0\)
\(D = 16 — 9 = 7 = \sqrt{7}\)
\(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{2} \approx \frac{4 \pm 2,65}{2}\)
\(x_1 \approx 3,3, \quad x_2 \approx 0,7\)
\(y = -3,3 + 1,5 = -1,8\) — не удовлетворяет
\(y = -0,7 + 1,5 = 0,8\)
Точка пересечения: \((0,7; 0,8)\).
а) Для нахождения точек пересечения графиков функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x\) необходимо приравнять их: \(\sqrt{x} = x\). Возведем обе части уравнения в квадрат, получив \(x = x^2\). Перенесем все в левую часть: \(x^2 — x = 0\). Вынесем общий множитель: \(x(x — 1) = 0\). Отсюда получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = 1\).
Для каждого значения \(x\) найдем соответствующее значение \(y\). При \(x = 0\) имеем \(y = \sqrt{0} = 0\), получаем точку \((0; 0)\). При \(x = 1\) имеем \(y = \sqrt{1} = 1\), получаем точку \((1; 1)\). Оба решения удовлетворяют исходному уравнению, так как при подстановке в \(\sqrt{x} = x\) получаем верные равенства: \(\sqrt{0} = 0\) и \(\sqrt{1} = 1\). Таким образом, точки пересечения: \((0; 0), (1; 1)\).
б) Для нахождения точки пересечения графиков \(y = \sqrt{x}\) и \(y = 1000\) приравняем функции: \(\sqrt{x} = 1000\). Возведем обе части в квадрат для избавления от корня: \(x = 1000^2 = 1\,000\,000\). Проверим решение: при \(x = 1\,000\,000\) имеем \(y = \sqrt{1\,000\,000} = 1000\), что соответствует второй функции. Решение единственное, так как функция \(y = \sqrt{x}\) монотонно возрастает и каждому значению \(y\) соответствует ровно одно значение \(x\). Точка пересечения: \((1\,000\,000; 1\,000)\).
в) Для нахождения точек пересечения графиков \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x + 10\) приравняем их: \(\sqrt{x} = x + 10\). Возведем обе части в квадрат: \(x = (x + 10)^2\). Раскроем скобки в правой части: \(x = x^2 + 20x + 100\). Перенесем все члены в левую часть: \(x — x^2 — 20x — 100 = 0\), что дает \(x^2 + 20x — x + 100 = 0\), или \(x^2 + 19x + 100 = 0\).
Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = 19^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 361 — 400 = -39 < 0\). Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = x + 10\) не пересекаются на множестве действительных чисел. Геометрически это объясняется тем, что прямая \(y = x + 10\) расположена выше кривой \(y = \sqrt{x}\) при всех допустимых значениях \(x \geq 0\). Точек пересечения нет.
г) Для нахождения точек пересечения графиков \(y = \sqrt{x}\) и \(y = -x + 1,5\) приравняем функции: \(\sqrt{x} = -x + 1,5\). Возведем обе части в квадрат: \(x = (-x + 1,5)^2\). Раскроем скобки: \(x = x^2 — 3x + 2,25\). Перенесем все в одну часть: \(x — x^2 + 3x — 2,25 = 0\), получая \(x^2 — 4x + 2,25 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2,25 = 16 — 9 = 7\). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{2}\). Приближенно \(\sqrt{7} \approx 2,65\), поэтому \(x_1 \approx \frac{4 + 2,65}{2} \approx 3,3\) и \(x_2 \approx \frac{4 — 2,65}{2} \approx 0,7\).
Однако необходимо проверить оба корня, так как при возведении в квадрат могут появиться посторонние решения. Для \(x_1 \approx 3,3\) получаем \(y = -3,3 + 1,5 = -1,8 < 0\), но значение функции \(y = \sqrt{x}\) всегда неотрицательно, поэтому этот корень не подходит. Для \(x_2 \approx 0,7\) получаем \(y = -0,7 + 1,5 = 0,8 > 0\), что удовлетворяет условию. Проверим: \(\sqrt{0,7} \approx 0,837 \approx 0,8\), решение верно. Точка пересечения: \((0,7; 0,8)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!