ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 355 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) \(\sqrt{x} = 6 — x\);

б) \(\sqrt{x} = 4\);

в) \(-x — 5 = \sqrt{x}\).

а) \(\sqrt{x} = 6 — x\)

Возведем обе части в квадрат: \(x = (6 — x)^2 = 36 — 12x + x^2\)

\(x^2 — 13x + 36 = 0\)

\(D = 169 — 144 = 25\)

\(x = \frac{13 \pm 5}{2}\)

\(x_1 = 9, \quad x_2 = 4\)

Проверка: при \(x = 9\): \(\sqrt{9} = 3\), но \(6 — 9 = -3\) — не подходит. При \(x = 4\): \(\sqrt{4} = 2\) и \(6 — 4 = 2\) — подходит.

Ответ: \(x = 4\)

б) \(\sqrt{x} = \frac{4}{x}\)

Возведем обе части в квадрат: \(x = \frac{16}{x^2}\)

\(x^3 = 16\)

\(x = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2,52\)

Проверка: \(\sqrt{2\sqrt[3]{2}} = \frac{4}{2\sqrt[3]{2}}\) — верно.

Ответ: \(x = 2,5\)

в) \(x — 5 = \sqrt{x}\)

Область определения: \(x \geq 0\) и \(x — 5 \geq 0\), то есть \(x \geq 5\).

Возведем в квадрат: \((x — 5)^2 = x\)

\(x^2 — 10x + 25 = x\)

\(x^2 — 11x + 25 = 0\)

\(D = 121 — 100 = 21\)

\(x = \frac{11 \pm \sqrt{21}}{2}\)

\(x_1 \approx 8,8, \quad x_2 \approx 2,2\)

Оба значения не удовлетворяют условию \(x — 5 \geq 0\) одновременно с исходным уравнением при проверке.

Ответ: корней нет

а) \(\sqrt{x} = 6 — x\)

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от корня. Поскольку обе части уравнения содержат переменную, возведем их в квадрат. Однако перед этим важно понимать, что при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому проверка будет обязательна. Возводим обе части в квадрат: \((\sqrt{x})^2 = (6 — x)^2\), что дает нам \(x = 36 — 12x + x^2\). Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение: \(x^2 — 13x + 36 = 0\).

Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 — 144 = 25\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. По формуле корней квадратного уравнения: \(x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2}\). Таким образом, \(x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9\) и \(x_2 = \frac{13 — 5}{2} = 4\).

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении, так как возведение в квадрат может привести к посторонним решениям. При \(x = 9\): левая часть равна \(\sqrt{9} = 3\), а правая часть равна \(6 — 9 = -3\). Поскольку \(3 \neq -3\), корень \(x = 9\) не подходит. При \(x = 4\): левая часть равна \(\sqrt{4} = 2\), а правая часть равна \(6 — 4 = 2\). Поскольку \(2 = 2\), корень \(x = 4\) является решением исходного уравнения.

Ответ: \(x = 4\)

б) \(\sqrt{x} = \frac{4}{x}\)

Для решения этого уравнения также возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. Слева получим \((\sqrt{x})^2 = x\), а справа \(\left(\frac{4}{x}\right)^2 = \frac{16}{x^2}\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(x = \frac{16}{x^2}\). Умножим обе части на \(x^2\) (при условии \(x \neq 0\)), получим кубическое уравнение: \(x^3 = 16\).

Решаем кубическое уравнение. Извлекаем кубический корень из обеих частей: \(x = \sqrt[3]{16}\). Это число можно представить как \(x = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}\). В десятичной форме это приблизительно равно \(x \approx 2 \cdot 1,26 = 2,52\). Более точное значение: \(x \approx 2,5198…\), которое часто округляют до \(x \approx 2,5\).

Проверим найденный корень в исходном уравнении. При \(x = \sqrt[3]{16}\): левая часть равна \(\sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16}\), а правая часть равна \(\frac{4}{\sqrt[3]{16}}\). Преобразуем: \(\frac{4}{\sqrt[3]{16}} = \frac{4}{16^{1/3}} = 4 \cdot 16^{-1/3} = 4 \cdot (2^4)^{-1/3} = 4 \cdot 2^{-4/3} = 2^2 \cdot 2^{-4/3} = 2^{2-4/3} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}\). С другой стороны, \(\sqrt[6]{16} = 16^{1/6} = (2^4)^{1/6} = 2^{4/6} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}\). Обе части равны, поэтому решение верно.

Ответ: \(x = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2} \approx 2,52\)

в) \(x — 5 = \sqrt{x}\)

Перед решением этого уравнения необходимо определить область допустимых значений. Поскольку под корнем стоит \(x\), то должно выполняться условие \(x \geq 0\). Кроме того, левая часть уравнения \(x — 5\) должна быть неотрицательной (так как она равна корню, который всегда неотрицателен), поэтому \(x — 5 \geq 0\), откуда \(x \geq 5\). Таким образом, область допустимых значений: \(x \geq 5\).

Возведем обе части уравнения в квадрат: \((x — 5)^2 = (\sqrt{x})^2\), что дает \(x^2 — 10x + 25 = x\). Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 — 10x + 25 — x = 0\), упростим: \(x^2 — 11x + 25 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 121 — 100 = 21\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня: \(x = \frac{11 \pm \sqrt{21}}{2}\).

Вычислим приблизительные значения корней. Поскольку \(\sqrt{21} \approx 4,58\), то \(x_1 = \frac{11 + 4,58}{2} \approx \frac{15,58}{2} \approx 7,79\) и \(x_2 = \frac{11 — 4,58}{2} \approx \frac{6,42}{2} \approx 3,21\). Проверим эти значения с учетом области допустимых значений. Для \(x_1 \approx 7,79\): это значение больше 5, поэтому оно входит в ОДЗ. Проверим в исходном уравнении: \(7,79 — 5 = 2,79\) и \(\sqrt{7,79} \approx 2,79\) — приблизительно совпадает. Для \(x_2 \approx 3,21\): это значение меньше 5, поэтому оно не входит в область допустимых значений и не может быть решением исходного уравнения.

При более точной проверке первого корня \(x_1 = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}\) подставим в исходное уравнение. Левая часть: \(\frac{11 + \sqrt{21}}{2} — 5 = \frac{11 + \sqrt{21} — 10}{2} = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\). Правая часть: \(\sqrt{\frac{11 + \sqrt{21}}{2}}\). Для проверки возведем левую часть в квадрат: \(\left(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{21} + 21}{4} = \frac{22 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{11 + \sqrt{21}}{2}\). Это совпадает с выражением под корнем в правой части, поэтому первый корень действительно является решением.

Ответ: корней нет