Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 356 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Что больше:
а) \(\sqrt{10}\) или \(11\);
б) \(\sqrt{0,12}\) или \(0,15\);
в) \(\sqrt{50}\) или \(\sqrt{60}\);
г) \(7\) или \(\sqrt{50}\);
д) \(\sqrt{60}\) или \(8\);
е) \(\sqrt{2}\) или \(1,4\);
ж) \(\sqrt{3}\) или \(1,8\);
з) \(\sqrt{28}\) или \(5,2\);
и) \(9\) или \(\sqrt{95}\)?
а) \(\sqrt{10} < \sqrt{11}\) — верно, так как \(10 < 11\) и функция корня возрастающая.
б) \(\sqrt{0,12} < \sqrt{0,15}\) — верно, так как \(0,12 < 0,15\).
в) \(\sqrt{50} < \sqrt{60}\) — верно, так как \(50 < 60\).
г) \(7 < \sqrt{50}\) — проверим: \(7^2 = 49 < 50\), верно.
д) \(\sqrt{60} < 8\) — проверим: \(8^2 = 64 > 60\), верно.
е) \(\sqrt{2} > 1,4\) — проверим: \(1,4^2 = 1,96 < 2\), верно.
ж) \(\sqrt{3} < 1,8\) — проверим: \(1,8^2 = 3,24 > 3\), верно.
з) \(\sqrt{28} > 5,2\) — проверим: \(5,2^2 = 27,04 < 28\), верно.
и) \(9 < \sqrt{95}\) — проверим: \(9^2 = 81 < 95\), верно.
а) \(\sqrt{10} < \sqrt{11}\) — это неравенство верно. Для сравнения корней с одинаковыми показателями степени можно сравнивать подкоренные выражения. Поскольку \(10 < 11\), а функция квадратного корня является возрастающей функцией на множестве положительных чисел, то \(\sqrt{10} < \sqrt{11}\). Возрастание функции корня означает, что при увеличении аргумента значение функции также увеличивается, поэтому меньшему числу под корнем соответствует меньшее значение корня.
Это свойство основано на том, что если \(0 < a < b\), то \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\). В нашем случае \(a = 10\) и \(b = 11\), условие выполнено, следовательно, неравенство верно.
б) \(\sqrt{0,12} < \sqrt{0,15}\) — это неравенство также верно. Применяя то же самое свойство возрастания функции корня, сравниваем подкоренные выражения: \(0,12 < 0,15\). Оба числа положительны и находятся между нулём и единицей, что не влияет на справедливость свойства. Функция квадратного корня остаётся возрастающей на всём множестве положительных чисел, включая числа, меньшие единицы.
Таким образом, из того, что \(0,12 < 0,15\), следует, что \(\sqrt{0,12} < \sqrt{0,15}\). Это можно также проверить приблизительно: \(\sqrt{0,12} \approx 0,346\) и \(\sqrt{0,15} \approx 0,387\), что подтверждает верность неравенства.
в) \(\sqrt{50} < \sqrt{60}\) — это неравенство верно по тому же принципу. Сравниваем подкоренные выражения: \(50 < 60\). Оба числа больше единицы, но это не изменяет свойство возрастания функции корня. Функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает на всей области определения, то есть для всех \(x \geq 0\).
Можно также заметить, что \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07\) и \(\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \approx 7,75\), что численно подтверждает неравенство.
г) \(7 < \sqrt{50}\) — это неравенство верно. Для проверки возведём обе части в квадрат. Поскольку обе части положительны, при возведении в квадрат знак неравенства сохраняется. Получаем: \(7^2 < 50\), то есть \(49 < 50\), что верно. Следовательно, исходное неравенство \(7 < \sqrt{50}\) верно.
Это можно объяснить так: число 7 в квадрате даёт 49, а число под корнем в исходном неравенстве равно 50. Поскольку \(49 < 50\), то число, квадрат которого равен 49, меньше числа, квадрат которого равен 50. Таким образом, \(7 < \sqrt{50}\).
д) \(\sqrt{60} < 8\) — это неравенство верно. Снова возведём обе части в квадрат. Получаем: \(60 < 8^2\), то есть \(60 < 64\), что верно. Следовательно, неравенство \(\sqrt{60} < 8\) верно.
Геометрически это означает, что число \(\sqrt{60}\) находится между 7 и 8 на числовой оси, ближе к 8. Точнее, \(\sqrt{60} \approx 7,75\), что действительно меньше 8.
е) \(\sqrt{2} > 1,4\) — это неравенство верно. Возведём обе части в квадрат: \(2 > (1,4)^2\), то есть \(2 > 1,96\), что верно. Следовательно, неравенство \(\sqrt{2} > 1,4\) верно.
Число \(\sqrt{2}\) — это иррациональное число, приблизительно равное 1,414…, что действительно больше 1,4. Разница небольшая, но достаточна для верности неравенства.
ж) \(\sqrt{3} < 1,8\) — это неравенство верно. Возведём обе части в квадрат: \(3 < (1,8)^2\), то есть \(3 < 3,24\), что верно. Следовательно, неравенство \(\sqrt{3} < 1,8\) верно.
Число \(\sqrt{3}\) приблизительно равно 1,732…, что действительно меньше 1,8. Это означает, что 1,8 — это верхняя граница для \(\sqrt{3}\), причём довольно точная.
з) \(\sqrt{28} > 5,2\) — это неравенство верно. Возведём обе части в квадрат: \(28 > (5,2)^2\), то есть \(28 > 27,04\), что верно. Следовательно, неравенство \(\sqrt{28} > 5,2\) верно.
Число \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \approx 5,29…\), что действительно больше 5,2. Разница небольшая, но неравенство верно.
и) \(9 < \sqrt{95}\) — это неравенство верно. Возведём обе части в квадрат: \(9^2 < 95\), то есть \(81 < 95\), что верно. Следовательно, неравенство \(9 < \sqrt{95}\) верно.
Число \(\sqrt{95}\) приблизительно равно 9,75…, что действительно больше 9. Это означает, что 9 — это нижняя граница для \(\sqrt{95}\), и разница составляет примерно 0,75.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!