ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 357 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) \(\sqrt{27}\) и \(\sqrt{28}\);

б) \(\sqrt{1,3}\) и \(\sqrt{1,5}\);

в) \(\sqrt{7}\) и \(3\);

г) \(\sqrt{6,25}\) и \(2,5\);

д) \(\sqrt{\frac{4}{3}}\) и \(\sqrt{5}\);

е) \(\sqrt{0,8}\) и \(1\);

ж) \(\sqrt{0,18}\) и \(0,4\);

з) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\) и \(\sqrt{\frac{5}{9}}\);

и) \(\sqrt{3,5}\) и \(\sqrt{\frac{32}{a}}\).

а) \( \sqrt{27} < \sqrt{28} \) верно, так как \( 27 < 28 \);

б) \( \sqrt{1,3} < \sqrt{1,5} \) верно, так как \( 1,3 < 1,5 \);

в) \( \sqrt{7} < 3 \) верно, так как \( \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3 \);

г) \( \sqrt{6,25} = 2,5 \) верно, так как \( 2,5^2 = 6,25 \);

д) \( \sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}} \) верно, так как \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \);

е) \( \sqrt{0,8} < 1 \) верно, так как \( \sqrt{0,8} < \sqrt{1} = 1 \);

ж) \( \sqrt{0,18} > 0,4 \) верно, так как \( \sqrt{0,18} \approx 0,42 > 0,4 \);

з) \( \sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}} \) верно, так как \( \frac{4}{5} = 0,8 < \frac{5}{6} \approx 0,833 \);

и) \( \sqrt{3,5} < \sqrt{\frac{32}{3}} \) верно, так как \( 3,5 = \frac{7}{2} = \frac{10,5}{3} < \frac{32}{3} \).

а) \( \sqrt{27} < \sqrt{28} \) верно. Для сравнения корней с одинаковыми показателями степени достаточно сравнить подкоренные выражения. Поскольку \( 27 < 28 \), то и \( \sqrt{27} < \sqrt{28} \). Это свойство основано на том, что функция квадратного корня является монотонно возрастающей на множестве положительных чисел, то есть большему положительному числу соответствует больший корень.

Данное неравенство демонстрирует базовый принцип сравнения радикалов: если под корнями одинаковой степени стоят положительные числа, то корень из большего числа будет больше. В этом случае разница между подкоренными выражениями составляет всего одну единицу, но этого достаточно для установления строгого неравенства между корнями.

б) \( \sqrt{1,3} < \sqrt{1,5} \) верно. Аналогично предыдущему пункту, сравниваем подкоренные выражения: \( 1,3 < 1,5 \). Поскольку оба числа положительны и находятся под корнями одинаковой степени (квадратный корень), то меньшему подкоренному выражению соответствует меньший корень. Здесь мы работаем с десятичными дробями, но принцип остаётся тем же.

Важно отметить, что оба подкоренных выражения больше единицы, поэтому их корни также будут больше единицы. Разница между \( 1,3 \) и \( 1,5 \) составляет \( 0,2 \), что приводит к различию в значениях корней, хотя это различие и меньше, чем разница между самими подкоренными выражениями.

в) \( \sqrt{7} < 3 \) верно. Для проверки этого неравенства преобразуем число \( 3 \) в форму с корнем: \( 3 = \sqrt{9} \). Тогда неравенство принимает вид \( \sqrt{7} < \sqrt{9} \). Сравнивая подкоренные выражения, получаем \( 7 < 9 \), что является истинным утверждением. Таким образом, исходное неравенство верно.

Этот пример показывает, что при сравнении корня с целым числом полезно представить целое число в виде корня той же степени. Число \( 7 \) находится между \( 4 \) и \( 9 \), то есть между \( \sqrt{16} \) и \( \sqrt{81} \), поэтому \( \sqrt{7} \) находится между \( 2 \) и \( 3 \), что подтверждает верность неравенства.

г) \( \sqrt{6,25} = 2,5 \) верно. Проверим это равенство, возведя \( 2,5 \) в квадрат: \( 2,5^2 = 2,5 \times 2,5 = 6,25 \). Поскольку квадрат числа \( 2,5 \) равен \( 6,25 \), то по определению квадратного корня \( \sqrt{6,25} = 2,5 \). Это равенство точное, так как \( 2,5 \) является положительным числом.

Число \( 6,25 \) можно также представить как \( \frac{625}{100} = \frac{25}{4} \), и тогда \( \sqrt{6,25} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} = 2,5 \). Таким образом, мы получаем то же самое значение, используя свойства корней дробей. Это демонстрирует, что десятичные числа под корнем можно преобразовывать в обыкновенные дроби для удобства вычисления.

д) \( \sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}} \) верно. Сравниваем подкоренные выражения: \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{6} \). Приведём их к общему знаменателю или просто заметим, что \( \frac{1}{5} = 0,2 \), а \( \frac{1}{6} \approx 0,167 \). Таким образом, \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \), и следовательно, \( \sqrt{\frac{1}{5}} > \sqrt{\frac{1}{6}} \).

Это неравенство иллюстрирует важный момент: при сравнении дробей с одинаковыми числителями (в данном случае оба числители равны единице) большей является дробь с меньшим знаменателем. Поскольку \( 5 < 6 \), то \( \frac{1}{5} > \frac{1}{6} \). Применяя монотонность функции квадратного корня, получаем требуемое неравенство для корней.

е) \( \sqrt{0,8} < 1 \) верно. Представим единицу в виде корня: \( 1 = \sqrt{1} \). Тогда неравенство принимает вид \( \sqrt{0,8} < \sqrt{1} \). Сравнивая подкоренные выражения, получаем \( 0,8 < 1 \), что является истинным. Следовательно, исходное неравенство верно.

Число \( 0,8 \) можно записать как \( \frac{4}{5} \), и тогда \( \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \). Поскольку \( \sqrt{5} \approx 2,236 \), то \( \sqrt{0,8} \approx \frac{2}{2,236} \approx 0,894 \), что действительно меньше единицы. Это показывает, что корень из числа, меньшего единицы, также будет меньше единицы.

ж) \( \sqrt{0,18} > 0,4 \) верно. Преобразуем число \( 0,4 \) в форму с корнем: \( 0,4 = \sqrt{0,16} \). Тогда неравенство принимает вид \( \sqrt{0,18} > \sqrt{0,16} \). Сравнивая подкоренные выражения, получаем \( 0,18 > 0,16 \), что является истинным утверждением. Таким образом, исходное неравенство верно.

Для более точной проверки вычислим приближённые значения: \( \sqrt{0,18} \approx 0,424 \) и \( 0,4 = 0,400 \). Разница между подкоренными выражениями составляет \( 0,18 — 0,16 = 0,02 \), что хотя и небольшая величина, но достаточна для того, чтобы корень из \( 0,18 \) превышал \( 0,4 \). Это демонстрирует, что даже малые различия в подкоренных выражениях приводят к различиям в значениях корней.

з) \( \sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}} \) верно. Сравниваем подкоренные выражения \( \frac{4}{5} \) и \( \frac{5}{6} \). Приведём их к общему знаменателю: \( \frac{4}{5} = \frac{24}{30} \) и \( \frac{5}{6} = \frac{25}{30} \). Таким образом, \( \frac{4}{5} < \frac{5}{6} \), и следовательно, \( \sqrt{\frac{4}{5}} < \sqrt{\frac{5}{6}} \).

Можно также сравнить дроби в десятичной форме: \( \frac{4}{5} = 0,8 \) и \( \frac{5}{6} \approx 0,833 \). Разница составляет примерно \( 0,033 \), что приводит к различию в корнях. Вычислим приближённые значения: \( \sqrt{0,8} \approx 0,894 \) и \( \sqrt{\frac{5}{6}} \approx 0,913 \). Таким образом, неравенство подтверждается численно.

и) \( \sqrt{3,5} < \sqrt{\frac{32}{3}} \) верно. Преобразуем \( 3,5 \) в дробь: \( 3,5 = \frac{7}{2} \). Тогда нам нужно сравнить \( \frac{7}{2} \) и \( \frac{32}{3} \). Приведём к общему знаменателю: \( \frac{7}{2} = \frac{21}{6} \) и \( \frac{32}{3} = \frac{64}{6} \). Таким образом, \( \frac{7}{2} < \frac{32}{3} \), и следовательно, \( \sqrt{3,5} < \sqrt{\frac{32}{3}} \).

В десятичной форме: \( 3,5 = 3,5 \) и \( \frac{32}{3} \approx 10,667 \). Разница между подкоренными выражениями значительна, поэтому разница между корнями также будет заметной. Вычислим приближённые значения: \( \sqrt{3,5} \approx 1,871 \) и \( \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3,266 \). Это ясно демонстрирует, что первый корень значительно меньше второго, что подтверждает верность неравенства.