ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 358 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

а) \(\sqrt{2,3}\), \(\sqrt{6,4}\), \(\sqrt{9,5}\), \(\sqrt{0,6}\), \(\sqrt{0,07}\);

б) \(\sqrt{0,5}\), \(\frac{1}{5}\), \(\sqrt{\frac{1}{3}}\), \(\frac{2}{1}\), \(\sqrt{\frac{21}{9}}\).

а) \(\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}\)

Приведем все числа под корнями к сравнению. Так как функция \(y = \sqrt{x}\) возрастающая, достаточно сравнить подкоренные выражения: \(0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5\). Неравенство верно.

б) \(\sqrt{0,3} < \sqrt{12} < 4 < \sqrt{16,5} < \sqrt{18}\)

Проверим: \(\sqrt{0,3} \approx 0,55\); \(\sqrt{12} \approx 3,46\); \(4 = 4\); \(\sqrt{16,5} \approx 4,06\); \(\sqrt{18} \approx 4,24\). Получаем \(0,55 < 3,46 < 4 < 4,06 < 4,24\). Неравенство верно.

в) \(\frac{1}{9} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \sqrt{0,01}\); \(\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{0,(3)}\); \(2\frac{1}{7} = \frac{15}{7} = \sqrt{\frac{225}{49}} = \sqrt{4,6}\); \(\sqrt{2\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{19}{9}} = \sqrt{2,(1)}\)

Сравним: \(\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}\)

Проверка: \(0,111 < 0,577 < 0,707 < 1,491 < 2,143\). Неравенство верно.

г) \(0,7 = \frac{7}{10} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \sqrt{0,49}\); \(\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{1,(3)}\)

Сравним: \(-1 < 0,7 < \sqrt{1,04} < \sqrt{1\frac{1}{3}} < \sqrt{1,7}\)

Проверка: \(-1 < 0,7 < 1,02 < 1,155 < 1,304\). Неравенство верно.

а) Для сравнения корней \(\sqrt{0,07}\), \(\sqrt{0,6}\), \(\sqrt{2,3}\), \(\sqrt{16,4}\) и \(\sqrt{19,5}\) воспользуемся свойством монотонности функции квадратного корня. Поскольку функция \(y = \sqrt{x}\) является возрастающей на всей области определения \([0; +\infty)\), то для любых неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) справедливо: если \(a < b\), то \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\). Это означает, что сравнение корней полностью эквивалентно сравнению подкоренных выражений.

Сравним подкоренные выражения: \(0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5\). Все эти числа расположены в порядке возрастания, что легко видно из их десятичной записи. Первое число \(0,07\) — это семь сотых, второе \(0,6\) — это шесть десятых (или шестьдесят сотых), третье \(2,3\) — это два целых и три десятых, а остальные числа еще больше. Применяя свойство монотонности квадратного корня, получаем итоговое неравенство: \(\sqrt{0,07} < \sqrt{0,6} < \sqrt{2,3} < \sqrt{16,4} < \sqrt{19,5}\).

б) Рассмотрим последовательность \(\sqrt{0,3}\), \(\sqrt{12}\), \(4\), \(\sqrt{16,5}\) и \(\sqrt{18}\). Здесь число \(4\) записано без корня, но его можно представить как \(\sqrt{16}\), чтобы все элементы были в единообразном виде. Таким образом, нужно сравнить подкоренные выражения: \(0,3\), \(12\), \(16\), \(16,5\) и \(18\). Очевидно, что \(0,3 < 12 < 16 < 16,5 < 18\), поскольку каждое число больше предыдущего.

Применяя возрастающий характер функции квадратного корня, получаем: \(\sqrt{0,3} < \sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{16,5} < \sqrt{18}\), что эквивалентно \(\sqrt{0,3} < \sqrt{12} < 4 < \sqrt{16,5} < \sqrt{18}\). Для дополнительной проверки можно вычислить приближенные значения: \(\sqrt{0,3} \approx 0,548\), \(\sqrt{12} \approx 3,464\), \(4 = 4\), \(\sqrt{16,5} \approx 4,062\), \(\sqrt{18} \approx 4,243\). Видно, что неравенство верно.

в) В этом пункте требуется преобразовать дроби и смешанные числа в корни для сравнения. Начнем с преобразований: \(\frac{1}{9}\) представим как \(\sqrt{\frac{1}{81}}\), так как \(\left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81}\). Число \(\sqrt{0,01}\) уже в нужном виде. Далее, \(\sqrt{\frac{1}{3}}\) можно записать как \(\sqrt{0,(3)}\), где \(0,(3) = \frac{1}{3}\) — периодическая дробь. Смешанное число \(2\frac{1}{7}\) преобразуем в неправильную дробь: \(2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}\), и тогда \(\left(\frac{15}{7}\right)^2 = \frac{225}{49} \approx 4,592\), поэтому \(2\frac{1}{7} = \sqrt{\frac{225}{49}} = \sqrt{4,592…}\). Однако в задании указано \(\sqrt{4,6}\), что является приближением.

Смешанное число \(2\frac{1}{9}\) преобразуем аналогично: \(2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}\), и \(\sqrt{\frac{19}{9}} = \sqrt{2,(1)}\), где \(2,(1) = \frac{19}{9} \approx 2,111…\). Теперь сравним подкоренные выражения: \(\frac{1}{81} = 0,0123… < 0,01\) — нет, здесь ошибка. Правильно: \(\frac{1}{9} \approx 0,111\), \(\sqrt{0,01} = 0,1\), \(\frac{1}{3} \approx 0,333\), \(0,5 = 0,5\), \(\frac{19}{9} \approx 2,111\), \(\frac{15}{7} \approx 2,143\). Сравнивая эти значения, получаем: \(\frac{1}{9} < \sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5} < \sqrt{2\frac{1}{9}} < 2\frac{1}{7}\), что соответствует \(0,111 < 0,577 < 0,707 < 1,491 < 2,143\).

г) Здесь нужно сравнить \(-1\), \(0,7\), \(\sqrt{1,04}\), \(\sqrt{1\frac{1}{3}}\) и \(\sqrt{1,7}\). Число \(-1\) — это отрицательное число, которое автоматически меньше всех остальных, так как корни квадратные принимают только неотрицательные значения. Число \(0,7\) можно представить как \(\sqrt{0,49}\), так как \((0,7)^2 = 0,49\). Число \(\sqrt{1,04}\) уже в нужном виде. Смешанное число \(1\frac{1}{3}\) преобразуем: \(1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,333\), поэтому \(\sqrt{1\frac{1}{3}} = \sqrt{1,(3)}\). Число \(\sqrt{1,7}\) также уже в нужном виде.

Сравним подкоренные выражения для положительных чисел: \(0,49 < 1,04 < 1,333 < 1,7\), откуда следует \(\sqrt{0,49} < \sqrt{1,04} < \sqrt{1,(3)} < \sqrt{1,7}\), то есть \(0,7 < \sqrt{1,04} < \sqrt{1\frac{1}{3}} < \sqrt{1,7}\). Приближенные значения: \(\sqrt{0,49} = 0,7\), \(\sqrt{1,04} \approx 1,020\), \(\sqrt{1,(3)} \approx 1,155\), \(\sqrt{1,7} \approx 1,304\). Учитывая, что \(-1\) меньше всех остальных, окончательное неравенство имеет вид: \(-1 < 0,7 < \sqrt{1,04} < \sqrt{1\frac{1}{3}} < \sqrt{1,7}\).