ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 36 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) \((9x^2 — y^2) : (3x + y)\);
б) \((2ab — a) : (4b^2 — 4b + 1)\);
в) \((x^2 + 2x + 4) : (x^3 — 8)\);
г) \((1 + a^3) : (1 + a)\).

а) \( (9x^2 — y^2) : (3x + y) = \frac{9x^2 — y^2}{3x + y} = \frac{(3x — y)(3x + y)}{3x + y} = 3x — y \)

б) \( (2ab — a) : (4b^2 — 4b + 1) = \frac{2ab — a}{4b^2 — 4b + 1} = \frac{a \cdot (2b — 1)}{(2b — 1)^2} = \frac{a}{2b — 1} \)

в) \( (x^2 + 2x + 4) : (x^3 — 8) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 — 8} = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{1}{x — 2} \)

г) \( (1 + a^3) : (1 + a) = \frac{1 + a^3}{1 + a} = \frac{(1 + a)(1 — a + a^2)}{1 + a} = 1 — a + a^2 \)

а) Начинаем с выражения \( (9x^2 — y^2) : (3x + y) \). Здесь в числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Применяем это к \( 9x^2 — y^2 \), получая \( (3x — y)(3x + y) \). Теперь выражение принимает вид \( \frac{(3x — y)(3x + y)}{3x + y} \). Поскольку \( 3x + y \neq 0 \), сокращаем этот множитель в числителе и знаменателе, остаётся \( 3x — y \).

Таким образом, деление многочлена на двучлен свелось к разложению на множители и сокращению общих факторов, что упрощает исходное выражение до \( 3x — y \).

б) Рассмотрим выражение \( (2ab — a) : (4b^2 — 4b + 1) \). В числителе можно вынести общий множитель \( a \), получив \( a(2b — 1) \). В знаменателе заметим, что многочлен \( 4b^2 — 4b + 1 \) является квадратом двучлена, так как \( (2b — 1)^2 = 4b^2 — 4b + 1 \). Тогда выражение перепишется как \( \frac{a(2b — 1)}{(2b — 1)^2} \). Сокращая общий множитель \( 2b — 1 \), получаем \( \frac{a}{2b — 1} \).

Таким образом, ключевым шагом было распознавание квадрата двучлена в знаменателе и вынесение общего множителя в числителе, что позволило упростить дробь.

в) Исходное выражение \( (x^2 + 2x + 4) : (x^3 — 8) \) переписываем как дробь \( \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 — 8} \). Заметим, что \( x^3 — 8 \) — разность кубов, которую можно разложить по формуле \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \). Здесь \( a = x \), \( b = 2 \), следовательно \( x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4) \). Подставляем это в знаменатель, получая \( \frac{x^2 + 2x + 4}{(x — 2)(x^2 + 2x + 4)} \). Теперь сокращаем \( x^2 + 2x + 4 \) в числителе и знаменателе, остаётся \( \frac{1}{x — 2} \).

Этот приём — разложение кубического многочлена на множители и сокращение общих выражений — позволяет значительно упростить исходное выражение.

г) Рассмотрим дробь \( \frac{1 + a^3}{1 + a} \). Числитель \( 1 + a^3 \) — сумма кубов, которая раскладывается по формуле \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \). Здесь \( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1) \). Подставляем в дробь: \( \frac{(1 + a)(1 — a + a^2)}{1 + a} \). Сокращаем общий множитель \( 1 + a \), получая \( 1 — a + a^2 \).

Таким образом, использована формула суммы кубов и сокращение общих множителей, что даёт простой результат.