ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 361 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнения:

а) \(x^2 = 11\) и \(\sqrt{x} = 11\);

б) \(2x^2 = \frac{1}{2}\) и \(2\sqrt{x} = \frac{1}{2}\).

а) \(x^2 = 11\) \(\Rightarrow\) \(x = \pm\sqrt{11}\); \(\sqrt{x} = 11\) \(\Rightarrow\) \(x = 121\).

б) \(2x^2 = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 0,25\) \(\Rightarrow\) \(x = \pm\sqrt{0,25}\) \(\Rightarrow\) \(x = \pm 0,5\); \(2\sqrt{x} = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x} = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{1}{16}\).

а) Рассмотрим первое уравнение \(x^2 = 11\). Это квадратное уравнение, где нужно найти значение переменной \(x\), которое при возведении в квадрат дает 11. Для решения применяем операцию извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения. Поскольку квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, получаем \(x = \pm\sqrt{11}\). Оба значения являются корректными решениями, так как \(\left(\sqrt{11}\right)^2 = 11\) и \(\left(-\sqrt{11}\right)^2 = 11\).

Второе уравнение в этом пункте имеет вид \(\sqrt{x} = 11\). Здесь под корнем находится сама переменная \(x\), а не её квадрат. Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат: \(\left(\sqrt{x}\right)^2 = 11^2\), откуда получаем \(x = 121\). Проверка: \(\sqrt{121} = 11\) — верно. В этом случае решение единственное, так как функция квадратного корня определена только для неотрицательных значений и принимает только неотрицательные значения.

б) Первое уравнение в этом пункте — \(2x^2 = \frac{1}{2}\). Начинаем с деления обеих частей на коэффициент 2, чтобы выразить \(x^2\) в явном виде: \(x^2 = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{4} = 0,25\). Теперь применяем извлечение квадратного корня: \(x = \pm\sqrt{0,25}\). Поскольку \(\sqrt{0,25} = 0,5\), получаем два решения: \(x = 0,5\) и \(x = -0,5\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, так как \(2 \cdot (0,5)^2 = 2 \cdot 0,25 = 0,5 = \frac{1}{2}\) и \(2 \cdot (-0,5)^2 = 2 \cdot 0,25 = 0,5 = \frac{1}{2}\).

Второе уравнение — \(2\sqrt{x} = \frac{1}{2}\). Сначала делим обе части на 2: \(\sqrt{x} = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{4}\). Затем возводим обе части в квадрат для избавления от корня: \(x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\). Это единственное решение, так как квадратный корень — однозначная функция для неотрицательных чисел. Проверка: \(2\sqrt{\frac{1}{16}} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\) — верно.