ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 363 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите значение корня:

a) \(\frac{121}{64}\);

б) \(\sqrt{\frac{36}{25}}\);

д) \(\sqrt{\frac{27}{481}}\);

г) \(\sqrt{\frac{1}{16}}\);

e) \(\sqrt{\frac{1}{51}}\).

а) \( \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{3}{8} \)

б) \( \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} \)

в) \( \sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{11}{5} \)

г) \( \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \)

д) \( \sqrt{\frac{27}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{13}{9} = 1 \frac{4}{9} \)

е) \( \sqrt{\frac{5}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \)

а) Для вычисления корня из дроби \( \sqrt{\frac{9}{64}} \) сначала используем свойство корня: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя, то есть \( \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} \). Далее вычисляем корни: \( \sqrt{9} = 3 \), так как \(3^2 = 9\), и \( \sqrt{64} = 8 \), так как \(8^2 = 64\). Таким образом, получаем \( \frac{3}{8} \).

Это стандартное преобразование, которое упрощает вычисление корней из дробей, переводя задачу в вычисление корней из числителя и знаменателя отдельно. Такой подход работает, потому что оба числа положительны, и корень из произведения равен произведению корней.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычисляем корень из дроби \( \sqrt{\frac{36}{25}} \). Применяем правило: \( \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} \). Корни вычисляются легко: \( \sqrt{36} = 6 \), так как \(6^2 = 36\), и \( \sqrt{25} = 5 \), так как \(5^2 = 25\). Получаем итоговый результат \( \frac{6}{5} \).

Данный метод позволяет быстро и просто найти корень из дроби без необходимости извлекать корень из сложного числа, используя свойства корней и упрощая выражение.

в) Рассмотрим корень из дроби \( \sqrt{\frac{121}{25}} \). Снова применяем правило: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя, то есть \( \sqrt{\frac{121}{25}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{25}} \). Вычисляем корни: \( \sqrt{121} = 11 \), так как \(11^2 = 121\), и \( \sqrt{25} = 5 \), так как \(5^2 = 25\). Итог: \( \frac{11}{5} \).

Такой способ решения универсален для положительных чисел и позволяет легко упростить корень из дроби, разбивая его на две части, что значительно облегчает вычисления.

г) Здесь вычисляем корень из дроби \( \sqrt{\frac{9}{16}} \), но в решении показано, что \( \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \). Это означает, что в условии либо опечатка, либо идет замена для примера. Если считать по формуле, \( \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \), так как \( \sqrt{9} = 3 \) и \( \sqrt{16} = 4 \). Но в решении показано \( \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} \), что является отдельным вычислением.

В любом случае, для вычисления корня из дроби мы берем корень числителя и знаменателя отдельно: \( \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} \). Это стандартное применение свойства корней.

д) Для вычисления \( \sqrt{\frac{27}{81}} \) и \( \sqrt{\frac{169}{81}} \) используем правило: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя. Сначала вычисляем \( \sqrt{\frac{27}{81}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{81}} \). Корень из 81 равен 9, так как \(9^2 = 81\). Корень из 27 можно представить как \( \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \), но в решении заменили на \( \sqrt{\frac{169}{81}} \), что равно \( \frac{13}{9} \), так как \(13^2 = 169\).

Далее \( \frac{13}{9} \) можно записать как смешанное число \( 1 \frac{4}{9} \), что упрощает восприятие результата. Такой подход показывает, как можно переходить от неправильной дроби к смешанному числу.

е) Рассмотрим \( \sqrt{\frac{5}{16}} \) и \( \sqrt{\frac{81}{16}} \). Сначала вычисляем \( \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4} \). Корень из 16 равен 4, так как \(4^2 = 16\). Корень из 5 оставить в корне, так как 5 не является точным квадратом.

Затем вычисляем \( \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4} \), так как \(9^2 = 81\) и \(4^2 = 16\). Число \( \frac{9}{4} \) можно представить как смешанное число \( 2 \frac{1}{4} \), что более удобно для восприятия и использования в дальнейших вычислениях.