ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 364 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение корня:

a) \(\sqrt{81-900}\);

б) \(\sqrt{0,36- 49}\);

B) \(\sqrt{121}\);

г) \(\sqrt{\frac{102}{16}}\).

а) \( \sqrt{81 \cdot 900} = \sqrt{9^2 \cdot 30^2} = 9 \cdot 30 = 270 \)

б) \( \sqrt{0,36 \cdot 49} = \sqrt{0,6^2 \cdot 7^2} = 0,6 \cdot 7 = 4,2 \)

в) \( \sqrt{12 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3,5 \)

г) \( \sqrt{10 \cdot \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{169}{16}} = \frac{13}{4} = 3 \frac{1}{4} \)

а) В этом примере мы вычисляем корень из произведения двух чисел: 81 и 900. Сначала представим числа под корнем в виде квадратов: 81 — это \(9^2\), а 900 — это \(30^2\). Тогда выражение принимает вид \( \sqrt{9^2 \cdot 30^2} \). По свойству корня из произведения, это равно произведению корней: \( \sqrt{9^2} \cdot \sqrt{30^2} \). Корень из квадрата числа равен самому числу, поэтому получаем \(9 \cdot 30\).

Далее перемножаем эти числа: \(9 \cdot 30 = 270\). Таким образом, вычисление сводится к разложению подкоренного выражения на квадраты и применению свойства корня из произведения, что значительно упрощает вычисление.

б) Здесь вычисляется корень из произведения десятичных чисел 0,36 и 49. Сначала представим 0,36 как квадрат числа 0,6, то есть \(0,36 = 0,6^2\), а 49 — это \(7^2\). Тогда выражение \( \sqrt{0,36 \cdot 49} \) можно переписать как \( \sqrt{0,6^2 \cdot 7^2} \). По свойству корня из произведения это равно \( \sqrt{0,6^2} \cdot \sqrt{7^2} \).

Извлекая корни, получаем \(0,6 \cdot 7\), что равно 4,2. Таким образом, ключевым шагом является распознавание чисел под корнем как квадратов, что позволяет быстро вычислить результат.

в) В этом пункте нужно найти корень из произведения 12 и \(\frac{1}{4}\). Запишем это как \( \sqrt{12 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3} \). Однако в решении показано другое выражение, где корень берется от дроби \(\frac{49}{4}\), то есть \( \sqrt{\frac{49}{4}} \).

Это означает, что в условии, возможно, опечатка, и правильное выражение — это \( \sqrt{\frac{49}{4}} \), что равно \( \frac{7}{2} \). Извлечение корня из дроби происходит по правилу: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \). Здесь \( \sqrt{49} = 7 \), а \( \sqrt{4} = 2 \), следовательно, получаем \( \frac{7}{2} \), что равно 3,5.

г) В этом примере вычисляется корень из произведения 10 и \(\frac{9}{16}\). Это можно переписать как \( \sqrt{10 \cdot \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} \). Далее в решении показано, что выражение равно корню из \(\frac{169}{16}\), то есть \( \sqrt{\frac{169}{16}} \).

По правилу извлечения корня из дроби получаем \( \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}} = \frac{13}{4} \). Дробь \( \frac{13}{4} \) можно представить как смешанное число \(3 \frac{1}{4}\), что и показано в ответе. Таким образом, ключевой момент — это умение извлекать корень из дроби и преобразовывать результат в смешанное число.