ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 365 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

a) \(\sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25}\);

б) \(\sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001}\);

в) \(\sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}}\);

г) \(\sqrt{5 \cdot \frac{1}{16} \cdot 2 \cdot \frac{34}{81}}\).

а) \( \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = 3 \cdot 8 \cdot 0,5 = 12 \)
б) \( \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = 1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01 = 0,0033 \)
в) \( \sqrt{\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 2}{9 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{40}{27} = 1 \frac{13}{27} \)
г) \( \sqrt{5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{234}{81}} = \sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}} = \frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5 \)

а) Здесь нужно вычислить произведение подкоренных чисел и извлечь корень квадратный из результата. Сначала перемножаем числа под корнем: \(9 \cdot 64 \cdot 0,25\). Число 9 — это \(3^2\), число 64 — это \(8^2\), а 0,25 — это \(\frac{1}{4}\), что равно \(0,5^2\). Значит, подкоренное выражение можно представить как произведение квадратов: \(3^2 \cdot 8^2 \cdot 0,5^2\). По свойству корня квадратного из произведения квадратичных чисел, корень равен произведению чисел без квадратов: \(3 \cdot 8 \cdot 0,5\).

Далее вычисляем произведение: \(3 \cdot 8 = 24\), а \(24 \cdot 0,5 = 12\). Таким образом, корень из произведения равен 12, то есть \( \sqrt{9 \cdot 64 \cdot 0,25} = 12 \).

б) В этом пункте нужно найти корень из произведения десятичных чисел: \(1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001\). Начнем с представления чисел в виде квадратов: \(1,21 = 1,1^2\), \(0,09 = 0,3^2\), \(0,0001 = 0,01^2\). Тогда подкоренное выражение — это произведение квадратов: \(1,1^2 \cdot 0,3^2 \cdot 0,01^2\). Корень из произведения квадратов равен произведению чисел без степеней: \(1,1 \cdot 0,3 \cdot 0,01\).

Выполним умножение: \(1,1 \cdot 0,3 = 0,33\), затем \(0,33 \cdot 0,01 = 0,0033\). Получаем, что \( \sqrt{1,21 \cdot 0,09 \cdot 0,0001} = 0,0033 \).

в) Здесь под корнем произведение дробей: \(\frac{25}{81} \cdot \frac{16}{49} \cdot \frac{196}{9}\). Для удобства разложим числители и знаменатели на квадраты: \(25 = 5^2\), \(81 = 9^2\), \(16 = 4^2\), \(49 = 7^2\), \(196 = 14^2\), \(9 = 3^2\). Значит, подкоренное выражение равно \( \frac{5^2}{9^2} \cdot \frac{4^2}{7^2} \cdot \frac{14^2}{3^2} \).

Корень из произведения равен произведению корней, то есть \(\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{14}{3}\). Перемножим числители: \(5 \cdot 4 \cdot 14 = 280\), а знаменатели: \(9 \cdot 7 \cdot 3 = 189\). Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: \(\frac{280}{189} = \frac{40}{27}\).

Дробь \(\frac{40}{27}\) можно представить как смешанное число \(1 \frac{13}{27}\), так как \(27 \cdot 1 = 27\), а остаток \(40 — 27 = 13\).

г) В этом пункте вычисляем корень из произведения: \(5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{234}{81}\). Для упрощения перепишем \(\frac{234}{81}\) в виде произведения дробей с квадратами под корнем: \(\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}\) — это представлено на рисунке, значит, \(5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{234}{81} = \sqrt{\frac{81}{16} \cdot \frac{196}{81}}\).

Подкоренное выражение разбивается на произведение двух дробей с квадратами в числителях и знаменателях: \( \frac{81}{16} = \left(\frac{9}{4}\right)^2\), \( \frac{196}{81} = \left(\frac{14}{9}\right)^2 \). Корень из произведения равен произведению корней: \(\frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9}\).

Сокращаем общий множитель 9: \(\frac{9}{4} \cdot \frac{14}{9} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\). Переводим в десятичную дробь: \(\frac{7}{2} = 3,5\). Таким образом, \( \sqrt{5 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{234}{81}} = 3,5 \).