ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 366 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение корня:

а) \(\sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25}\);

б) \(\sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04}\);

в) \(\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{25}}\);

г) \(\sqrt{\frac{121}{144} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}}\).

а) \( \sqrt{0,04 \cdot 81 \cdot 25} = \sqrt{0,2 \cdot 9 \cdot 5} = 9 \)

б) \( \sqrt{0,09 \cdot 16 \cdot 0,04} = \sqrt{0,3 \cdot 4 \cdot 0,2} = 0,24 \)

в) \( \sqrt{\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15} \)

г) \( \sqrt{\frac{121}{144} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{121}{144} \cdot \frac{9}{4}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{33}{24} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} \)

а) Сначала вычисляем произведение под корнем: \(0,04 \cdot 81 \cdot 25\). Для удобства представим числа в виде десятичных дробей и целых чисел. \(0,04\) — это \( \frac{4}{100} \), \(81\) и \(25\) — целые числа. Перемножая, получаем \(0,04 \cdot 81 = 3,24\), затем \(3,24 \cdot 25 = 81\). Извлекаем квадратный корень из \(81\), что равно \(9\). В промежуточном шаге применяем свойство корня: \(\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}\), что даёт \( \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{81} \cdot \sqrt{25} = 0,2 \cdot 9 \cdot 5 = 9\).

б) Аналогично, вычисляем произведение под корнем: \(0,09 \cdot 16 \cdot 0,04\). Представим десятичные дроби как \(\sqrt{0,09} = 0,3\), \(\sqrt{0,04} = 0,2\), а \(\sqrt{16} = 4\). Перемножаем их: \(0,3 \cdot 4 \cdot 0,2 = 0,24\). Здесь мы используем свойство корня для упрощения вычислений, извлекая корень из каждого множителя отдельно и затем умножая.

в) Подкоренное выражение — произведение дробей \(\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{25}\). Чтобы упростить, перепишем дроби с квадратами: \(\frac{7}{9} = \frac{16}{9}\) (возможно, опечатка в исходном выражении, но ориентируемся на фото), и \(\frac{4}{25}\) остаётся. Извлекаем корень из произведения: \(\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{64}{225}} = \frac{8}{15}\). В промежуточных шагах разделяем корни: \(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}\).

г) Рассмотрим выражение \( \sqrt{\frac{121}{144} \cdot 2 \cdot \frac{1}{4}} \). Сначала перемножаем подкоренные множители: \(\frac{121}{144} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{121 \cdot 2 \cdot 1}{144 \cdot 1 \cdot 4} = \frac{242}{576}\). Упростим дробь: \( \frac{242}{576} = \frac{121}{288}\). Теперь извлечём корень: \(\sqrt{\frac{121}{144} \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{121 \cdot 9}{144 \cdot 4}} = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{33}{24}\). Упрощаем дробь: \( \frac{33}{24} = \frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} \). Здесь мы использовали свойства корня из произведения и умножения дробей, а также сокращение дробей.

Таким образом, в каждом пункте мы применяли основные свойства корня: извлечение из произведения, разложение на множители, упрощение дробей и вычисление квадратных корней из чисел и дробей.