ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 368 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \(\sqrt{75 \cdot 48}\);

б) \(\sqrt{45 \cdot 80}\);

в) \(\sqrt{4,9 \cdot 360}\);

г) \(\sqrt{160 \cdot 6,4}\).

а) \( \sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{3 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 3} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \)

б) \( \sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 16} = 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60 \)

в) \( \sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{49 \cdot 36} = 7 \cdot 6 = 42 \)

г) \( \sqrt{160 \cdot 6,4} = \sqrt{16 \cdot 64} = 4 \cdot 8 = 32 \)

а) Сначала рассмотрим выражение под корнем: \(75 \cdot 48\). Чтобы упростить вычисление корня, разложим числа на множители. \(75 = 3 \cdot 25\), а \(48 = 16 \cdot 3\). Значит, исходное выражение можно записать как \( \sqrt{3 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 3} \). Теперь сгруппируем множители так, чтобы извлечь из-под корня целые квадраты: \(25 = 5^2\), \(16 = 4^2\), и \(3 \cdot 3 = 3^2\). Получаем \( \sqrt{5^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2} \).

Извлекая корень из произведения квадратов, получаем произведение самих чисел: \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). Таким образом, \( \sqrt{75 \cdot 48} = 60\).

б) В выражении \( \sqrt{45 \cdot 80} \) также раскладываем числа на простые множители. \(45 = 9 \cdot 5\), \(80 = 5 \cdot 16\). Тогда подкоренное выражение становится \( \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 16} \). Объединяем одинаковые множители в квадраты: \(9 = 3^2\), \(16 = 4^2\), а \(5 \cdot 5 = 5^2\). Следовательно, \( \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 4^2} \).

Извлекая корень, получаем произведение чисел вне корня: \(3 \cdot 5 \cdot 4 = 60\). Значит, \( \sqrt{45 \cdot 80} = 60\).

в) Рассмотрим \( \sqrt{4,9 \cdot 360} \). Сначала представим \(4,9\) как \(49/10\), но удобнее представить \(4,9\) как \(7^2/10^2\) не получится, поэтому воспользуемся разложением: \(4,9 = 49 \cdot 0,1\), но проще заметить, что \(4,9 = 7^2 \cdot 0,01\). Для удобства перепишем \(4,9\) как \(49 \cdot 0,1\) и \(360\) как \(36 \cdot 10\). Тогда \( \sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{49 \cdot 36} \cdot \sqrt{0,1 \cdot 10} \). Поскольку \(0,1 \cdot 10 = 1\), то \( \sqrt{0,1 \cdot 10} = 1\). Значит, \( \sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{49 \cdot 36} \).

Извлекая корень из произведения квадратов, получаем \(7 \cdot 6 = 42\).

г) В выражении \( \sqrt{160 \cdot 6,4} \) разложим числа на множители: \(160 = 16 \cdot 10\), \(6,4 = 64 \cdot 0,1\). Тогда произведение под корнем равно \(16 \cdot 10 \cdot 64 \cdot 0,1\). Перемножим \(10 \cdot 0,1 = 1\), следовательно, подкоренное выражение равно \(16 \cdot 64\).

Извлекая корень из произведения квадратов \(16 = 4^2\), \(64 = 8^2\), получаем \(4 \cdot 8 = 32\). Таким образом, \( \sqrt{160 \cdot 6,4} = 32\).