Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 369 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Вычислите значение выражения:
а) \(\sqrt{13^2 — 12^2}\);
б) \(\sqrt{8^2 + 6^2}\);
в) \(\sqrt{31^2 — 31^2}\);
г) \(\sqrt{12^2 — 22^2}\);
д) \(\sqrt{45,8^2 — 44,2^2}\);
е) \(\sqrt{21,8^2 — 18,2^2}\).
а) \( \sqrt{13^2 — 12^2} = \sqrt{(13 — 12)(13 + 12)} = \sqrt{1 \cdot 25} = 5 \)
б) \( \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \)
в) \( \sqrt{313^2 — 312^2} = \sqrt{(313 — 312)(313 + 312)} = \sqrt{1 \cdot 625} = 25 \)
г) \( \sqrt{122^2 — 22^2} = \sqrt{(122 — 22)(122 + 22)} = \sqrt{100 \cdot 144} = 10 \cdot 12 = 120 \)
д) \( \sqrt{45,8^2 — 44,2^2} = \sqrt{(45,8 — 44,2)(45,8 + 44,2)} = \sqrt{1,6 \cdot 90} =\) \(-= \sqrt{16 \cdot 9} = 4 \cdot 3 = 12 \)
е) \( \sqrt{21,8^2 — 18,2^2} = \sqrt{(21,8 — 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 40} =\) \(= \sqrt{36 \cdot 4} = 6 \cdot 2 = 12 \)
а) Рассмотрим выражение \( \sqrt{13^2 — 12^2} \). Здесь мы видим разность квадратов, которую можно разложить по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Подставляем \( a = 13 \) и \( b = 12 \), тогда получаем \( \sqrt{(13 — 12)(13 + 12)} \). Вычисляем скобки: \( 13 — 12 = 1 \) и \( 13 + 12 = 25 \). Таким образом, под корнем оказывается произведение \( 1 \cdot 25 \), что равно 25.
Теперь извлекаем квадратный корень из 25. Поскольку \( \sqrt{25} = 5 \), то окончательный результат равен 5. Такой способ упрощения позволяет избежать вычисления больших квадратов и облегчает решение.
б) В выражении \( \sqrt{8^2 + 6^2} \) сначала возводим числа в квадрат: \( 8^2 = 64 \), \( 6^2 = 36 \). Складываем эти значения: \( 64 + 36 = 100 \). Теперь извлекаем корень из 100, что даёт \( \sqrt{100} = 10 \). Этот пример иллюстрирует применение формулы для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
в) Выражение \( \sqrt{313^2 — 312^2} \) снова содержит разность квадратов. Используем формулу \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) с \( a = 313 \), \( b = 312 \). Получаем \( \sqrt{(313 — 312)(313 + 312)} = \sqrt{1 \cdot 625} \). Умножаем: \( 1 \cdot 625 = 625 \), затем извлекаем корень: \( \sqrt{625} = 25 \). Такой подход значительно упрощает вычисления.
г) Рассмотрим \( \sqrt{122^2 — 22^2} \). Применяем формулу разности квадратов: \( (122 — 22)(122 + 22) \). Считаем: \( 122 — 22 = 100 \), \( 122 + 22 = 144 \). Под корнем произведение \( 100 \cdot 144 \). Извлекаем корень из произведения, используя свойство \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \), получаем \( \sqrt{100} \cdot \sqrt{144} = 10 \cdot 12 = 120 \).
д) Вычисляем \( \sqrt{45,8^2 — 44,2^2} \) через разность квадратов: \( (45,8 — 44,2)(45,8 + 44,2) \). Вычитаем и складываем: \( 45,8 — 44,2 = 1,6 \), \( 45,8 + 44,2 = 90 \). Под корнем \( 1,6 \cdot 90 \). Переписываем как \( \sqrt{16 \cdot 9} \) (путём умножения на 10 с обеих частей), что равно \( \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 \).
е) Аналогично для \( \sqrt{21,8^2 — 18,2^2} \) используем разность квадратов: \( (21,8 — 18,2)(21,8 + 18,2) \). Вычисляем: \( 21,8 — 18,2 = 3,6 \), \( 21,8 + 18,2 = 40 \). Под корнем произведение \( 3,6 \cdot 40 \). Представляем как \( \sqrt{36 \cdot 4} \), извлекаем корни: \( \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12 \). Такой приём облегчает вычисления с десятичными числами.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!