ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 37 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{2x + bx — 2y — by}{7x — 7y}\);
б) \(\frac{8a + 4b}{2ab + b^2 — 2ad — bd}\);
в) \(\frac{xy — x + y — y^2}{x^2 — y^2}\);
г) \(\frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac — ax — cx}\).

а) \(\frac{2x + bx — 2y — by}{7x — 7y} = \frac{2(x — y) + b(x — y)}{7(x — y)} = \frac{(2 + b)(x — y)}{7(x — y)} = \frac{2 + b}{7}\)

б) \(\frac{8a + 4b}{2ab + b^2 — 2ad — bd} = \frac{4(2a + b)}{2a(b — d) + b(b — d)} = \frac{4(2a + b)}{(b — d)(2a + b)} = \frac{4}{b — d}\)

в) \(\frac{xy — x + y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{x(y — 1) — y(y — 1)}{(x — y)(x + y)} = \frac{(y — 1)(x — y)}{(x — y)(x + y)} = \frac{y — 1}{x + y}\)

г) \(\frac{a^2 + 2ac + c^2}{a^2 + ac — ax — cx} = \frac{(a + c)^2}{a(a + c) — x(a + c)} = \frac{(a + c)^2}{(a + c)(a — x)} = \frac{a + c}{a — x}\)

а) В числителе выражения \(2x + bx — 2y — by\) можно сгруппировать слагаемые по переменным: \(2x + bx = (2 + b)x\) и \(-2y — by = -(2 + b)y\). Таким образом, числитель переписывается как \((2 + b)x — (2 + b)y\), что можно представить в виде произведения \((2 + b)(x — y)\). В знаменателе \(7x — 7y\) также выделяется общий множитель \(7\), что даёт \(7(x — y)\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{(2 + b)(x — y)}{7(x — y)}\).

Так как множители \(x — y\) в числителе и знаменателе не равны нулю, их можно сократить, что упрощает выражение до \(\frac{2 + b}{7}\). В итоге, исходное выражение сводится к простой дроби, где числитель — сумма \(2 + b\), а знаменатель — число 7.

б) Рассмотрим числитель дроби \(8a + 4b\). Из обеих частей можно вынести общий множитель 4, что даёт \(4(2a + b)\). В знаменателе выражение \(2ab + b^2 — 2ad — bd\) можно сгруппировать как \(2ab — 2ad + b^2 — bd\). В первой паре выделим общий множитель \(2a\), во второй — \(b\), получается \(2a(b — d) + b(b — d)\). Далее выделим общий множитель \((b — d)\), что даёт \((b — d)(2a + b)\).

Таким образом, исходная дробь принимает вид \(\frac{4(2a + b)}{(b — d)(2a + b)}\). Поскольку \(2a + b \neq 0\), эти множители можно сократить, и остаётся \(\frac{4}{b — d}\).

в) В числителе выражения \(xy — x + y — y^2\) сгруппируем слагаемые так: \(xy — x = x(y — 1)\) и \(y — y^2 = y(1 — y) = -y(y — 1)\). Тогда числитель переписывается как \(x(y — 1) — y(y — 1)\), что равно \((y — 1)(x — y)\).

Знаменатель \(x^2 — y^2\) — разность квадратов, которую можно разложить на множители: \((x — y)(x + y)\). Теперь выражение имеет вид \(\frac{(y — 1)(x — y)}{(x — y)(x + y)}\).

Сокращая общий множитель \(x — y\), получаем \(\frac{y — 1}{x + y}\).

г) В числителе выражения \(a^2 + 2ac + c^2\) распознаём полный квадрат: \((a + c)^2\). В знаменателе \(a^2 + ac — ax — cx\) сгруппируем слагаемые: \(a^2 + ac = a(a + c)\) и \(-ax — cx = -x(a + c)\). Тогда знаменатель можно представить как \(a(a + c) — x(a + c) = (a + c)(a — x)\).

Таким образом, исходное выражение принимает вид \(\frac{(a + c)^2}{(a + c)(a — x)}\). Сокращая общий множитель \(a + c\), получаем \(\frac{a + c}{a — x}\).