ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 371 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде произведения корней:
а) \(\sqrt{15}\);
б) \(\sqrt{21}\);
в) \(\sqrt{7a}\);
г) \(\sqrt{3c}\).

а) \( \sqrt{15} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} \)
б) \( \sqrt{21} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \)
в) \( \sqrt{7a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a} \)
г) \( \sqrt{3c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{c} \)

а) Корень из произведения чисел 15 можно представить как произведение корней из множителей 5 и 3, так как 15 = 5 · 3. Это основано на свойстве корня: \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \), где \(a\) и \(b\) — положительные числа. Следовательно, \( \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} \). Такое разложение помогает упростить вычисления с корнями и наглядно показывает структуру подкоренного выражения.

Это свойство корня часто используется для упрощения выражений и решения уравнений, где подкоренное выражение можно представить в виде произведения простых множителей. В данном случае, поскольку 5 и 3 — простые числа, разложение заканчивается на этом этапе. Таким образом, \( \sqrt{15} \) равен произведению \( \sqrt{5} \) и \( \sqrt{3} \), что соответствует исходному заданию.

б) Аналогично первому случаю, число 21 можно разложить на простые множители: 21 = 7 · 3. Применяя то же свойство корня, получаем \( \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} \). Это разложение позволяет работать с более простыми радикалами, что значительно облегчает дальнейшие вычисления или преобразования.

Такое разложение особенно полезно при решении задач, где нужно упростить выражение с корнями или привести его к более удобному виду. Использование свойства умножения подкоренных выражений является базовым при работе с корнями и помогает избежать ошибок при упрощении.

в) В данном случае подкоренное выражение содержит переменную \(a\) и число 7, которые перемножены. По свойству корня, \( \sqrt{7a} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{a} \), так как корень из произведения равен произведению корней. Это позволяет разделить выражение на две части: числовую и переменную, что облегчает дальнейшие операции с ними.

Такое разложение особенно важно при работе с алгебраическими выражениями, где переменные под корнем можно выделить отдельно. Это упрощает последующие действия, например, возведение в степень или упрощение дробей, и делает выражение более наглядным и удобным для вычислений.

г) Здесь подкоренное выражение состоит из произведения числа 3 и переменной \(c\). Применяя свойство корня, получаем \( \sqrt{3c} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{c} \). Это разложение позволяет рассматривать числовую и переменную части отдельно, что полезно при дальнейших преобразованиях или вычислениях.

Такое представление часто используется, когда нужно упростить выражение или подготовить его к интегрированию, дифференцированию или другим операциям. Разделение корня на произведение корней помогает избежать ошибок и делает работу с выражением более структурированной.