ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 372 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде частного корней:
а) \(\sqrt{\frac{2}{7}}\);
б) \(\sqrt{\frac{3}{10}}\);
в) \(\sqrt{\frac{5}{a}}\);
г) \(\sqrt{\frac{6}{3}}\).

а) \( \sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \);

б) \( \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \);

в) \( \sqrt{\frac{5}{a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}} \);

г) \( \sqrt{\frac{b}{3}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}} \).

а) Для выражения \( \sqrt{\frac{2}{7}} \) применяем свойство корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби, числитель и знаменатель которой — корни из числителя и знаменателя исходной дроби. То есть \( \sqrt{\frac{2}{7}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \). Это возможно, потому что операция извлечения корня является мультипликативной и распространяется на числитель и знаменатель отдельно.

Далее, такое представление удобно для последующих преобразований или вычислений, особенно если требуется рационализировать знаменатель или упростить выражение. В данном случае мы просто переписали корень из дроби в виде дроби из корней, сохранив эквивалентность выражения.

б) Рассмотрим выражение \( \sqrt{\frac{3}{10}} \). Аналогично предыдущему пункту, применяем правило, что корень из дроби равен дроби, числитель и знаменатель которой — корни из числителя и знаменателя исходной дроби: \( \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \). Это позволяет работать с числителем и знаменателем отдельно, что часто упрощает вычисления или преобразования.

Такое разложение особенно полезно, если нужно упростить корень или привести его к более удобному виду, например, при умножении на сопряжённое выражение для рационализации знаменателя.

в) Для выражения \( \sqrt{\frac{5}{a}} \) также используем свойство корня из дроби: \( \sqrt{\frac{5}{a}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{a}} \). Здесь важно помнить, что \(a\) — переменная, и извлечение корня из неё означает возведение в степень \( \frac{1}{2} \), то есть \( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \).

Такое представление удобно, если дальше нужно работать с переменной \(a\) отдельно в числителе или знаменателе, или если требуется выполнить операции с корнями, например, умножение или деление подобных выражений.

г) Рассмотрим \( \sqrt{\frac{b}{3}} \). Применяя то же свойство, получаем \( \sqrt{\frac{b}{3}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{3}} \). Это позволяет отдельно рассматривать числитель и знаменатель, что упрощает работу с выражением, например, при необходимости рационализировать знаменатель.

Данное преобразование базируется на фундаментальном свойстве корня, которое сохраняет равенство и даёт более удобный для вычислений или преобразований вид исходного выражения.