ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 373 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любом неотрицательном \(a\):
а) \(10 \sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a}\);
б) \(\sqrt{a} = \frac{1}{10} \sqrt{100a}\).

а) \(10 \sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a}\)
\(10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} = \sqrt{a}\)
\(\sqrt{a} = \sqrt{a} — \text{верно}.\)

б) \(\sqrt{a} = \frac{1}{10} \sqrt{100a}\)
\(\sqrt{a} = \frac{1}{10} \cdot 10 \sqrt{a}\)
\(\sqrt{a} = \sqrt{a} — \text{верно}.\)

а) Начинаем с выражения \(10 \sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a}\). Внутри корня можно упростить дробь, заметив, что \( \frac{a}{100} = a \cdot \frac{1}{100}\). Корень из произведения равен произведению корней, то есть \( \sqrt{\frac{a}{100}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{100}} \). Поскольку \( \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} \), получаем \( \sqrt{\frac{a}{100}} = \frac{\sqrt{a}}{10} \). Подставляя это обратно, имеем \( 10 \cdot \frac{\sqrt{a}}{10} \).

Далее сокращаем множители: \(10\) в числителе и \(10\) в знаменателе взаимно уничтожаются, поэтому остается просто \( \sqrt{a} \). Таким образом, исходное выражение свелось к равенству \( \sqrt{a} = \sqrt{a} \), что является верным тождеством.

б) Рассмотрим равенство \( \sqrt{a} = \frac{1}{10} \sqrt{100a} \). Внутри корня справа находится произведение \(100a\), корень из произведения равен произведению корней, то есть \( \sqrt{100a} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a} \). Поскольку \( \sqrt{100} = 10 \), это выражение становится \( 10 \sqrt{a} \). Тогда правая часть равенства равна \( \frac{1}{10} \cdot 10 \sqrt{a} \).

Здесь множители \( \frac{1}{10} \) и \(10\) взаимно сокращаются, и получается \( \sqrt{a} \). Следовательно, исходное равенство сводится к \( \sqrt{a} = \sqrt{a} \), что является верным утверждением.