Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 374 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Укажите натуральные значения \(n\), при которых \(\sqrt{n^2 — 75}\) является натуральным числом.
Пусть \(x\) натуральное число, тогда:
\(\sqrt{n^2 — 75} = x\)
\(n^2 — 75 = x^2\)
\(n^2 — x^2 = 75\)
\((n — x)(n + x) = 75\)
Разложим 75 на множители:
\(75 = 1 \cdot 75\)
\(75 = 75 \cdot 1\)
\(75 = 25 \cdot 3\)
\(75 = 3 \cdot 25\)
\(75 = 5 \cdot 15\)
\(75 = 15 \cdot 5\)
1) \(\begin{cases} n — x = 1 \\ n + x = 75 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 76\), \(x = 75 — n\)
\(\Rightarrow n = 38\), \(x = 37\)
2) \(\begin{cases} n — x = 75 \\ n + x = 1 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 76\), \(x = 1 — n\)
\(\Rightarrow n = 38\), \(x = -37\)
3) \(\begin{cases} n — x = 3 \\ n + x = 25 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 28\), \(x = 25 — n\)
\(\Rightarrow n = 14\), \(x = 11\)
4) \(\begin{cases} n — x = 25 \\ n + x = 3 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 28\), \(x = 3 — n\)
\(\Rightarrow n = 14\), \(x = -11\)
5) \(\begin{cases} n — x = 5 \\ n + x = 15 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 20\), \(x = 15 — n\)
\(\Rightarrow n = 10\), \(x = 5\)
6) \(\begin{cases} n — x = 15 \\ n + x = 5 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 2n = 20\), \(x = 5 — n\)
\(\Rightarrow n = 10\), \(x = -5\)
Ответ: при \(n = 10\), \(n = 14\), \(n = 38\).
Пусть \(x\) — натуральное число, тогда из условия задачи имеем уравнение \(\sqrt{n^2 — 75} = x\). Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(n^2 — 75 = x^2\). Переносим слагаемые, получаем \(n^2 — x^2 = 75\). Это выражение можно разложить по формуле разности квадратов: \((n — x)(n + x) = 75\).
Далее нужно найти все пары натуральных чисел \((n — x)\) и \((n + x)\), произведение которых равно 75. Разложим число 75 на все возможные пары натуральных множителей: \(75 = 1 \cdot 75\), \(75 = 3 \cdot 25\), \(75 = 5 \cdot 15\), а также обратные пары \(75 = 75 \cdot 1\), \(75 = 25 \cdot 3\), \(75 = 15 \cdot 5\). Каждая из этих пар может быть значениями \(n — x\) и \(n + x\), соответственно.
Для каждой пары составим систему уравнений:
\(\begin{cases} n — x = a \\ n + x = b \end{cases}\), где \(a \cdot b = 75\). Сложив уравнения, получаем \(2n = a + b\), откуда \(n = \frac{a + b}{2}\). Вычитая первое из второго, получаем \(2x = b — a\), откуда \(x = \frac{b — a}{2}\). Значения \(n\) и \(x\) должны быть натуральными числами, поэтому проверяем каждую пару на это условие.
1) При \(n — x = 1\) и \(n + x = 75\)
\(2n = 1 + 75 = 76\), значит \(n = 38\).
\(2x = 75 — 1 = 74\), значит \(x = 37\).
Оба значения натуральные, подходят.
2) При \(n — x = 75\) и \(n + x = 1\)
\(2n = 75 + 1 = 76\), значит \(n = 38\).
\(2x = 1 — 75 = -74\), значит \(x = -37\), что не натуральное число, отбрасываем.
3) При \(n — x = 3\) и \(n + x = 25\)
\(2n = 3 + 25 = 28\), значит \(n = 14\).
\(2x = 25 — 3 = 22\), значит \(x = 11\).
Оба значения натуральные, подходят.
4) При \(n — x = 25\) и \(n + x = 3\)
\(2n = 25 + 3 = 28\), значит \(n = 14\).
\(2x = 3 — 25 = -22\), значит \(x = -11\), не натуральное, отбрасываем.
5) При \(n — x = 5\) и \(n + x = 15\)
\(2n = 5 + 15 = 20\), значит \(n = 10\).
\(2x = 15 — 5 = 10\), значит \(x = 5\).
Оба значения натуральные, подходят.
6) При \(n — x = 15\) и \(n + x = 5\)
\(2n = 15 + 5 = 20\), значит \(n = 10\).
\(2x = 5 — 15 = -10\), значит \(x = -5\), не натуральное, отбрасываем.
Таким образом, подходящими решениями являются пары \((n, x)\): \((38, 37)\), \((14, 11)\), \((10, 5)\). Значения \(n\) — это искомые натуральные числа, при которых исходное уравнение выполняется. Ответ: при \(n = 10\), \(n = 14\), \(n = 38\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!