ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 375 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Используя приближённое равенство \(\sqrt{75} \approx 8{,}7\), найдите приближённое значение выражения:
а) \(\sqrt{7500}\);
б) \(\sqrt{750000}\);
в) \(\sqrt{0{,}75}\);
г) \(\sqrt{0{,}0075}\).

а) \( \sqrt{7500} = \sqrt{75 \cdot 100} = 8,7 \cdot 10 = 87 \)
б) \( \sqrt{750000} = \sqrt{75 \cdot 10000} = 8,7 \cdot 100 = 870 \)
в) \( \sqrt{0,75} = \sqrt{75 \cdot 0,01} = 8,7 \cdot 0,1 = 0,87 \)
г) \( \sqrt{0,0075} = \sqrt{75 \cdot 0,0001} = 8,7 \cdot 0,01 = 0,087 \)

а) Сначала представляем число под корнем в виде произведения двух множителей, где один из них — полный квадрат. Здесь \(7500\) раскладываем как \(75 \cdot 100\), так как \(100 = 10^2\) — это полный квадрат, корень из которого легко извлечь. Таким образом, выражение \( \sqrt{7500} \) переписываем как \( \sqrt{75 \cdot 100} \). По свойству корня из произведения, это равно произведению корней: \( \sqrt{75} \cdot \sqrt{100} \).

Далее, известно, что \( \sqrt{100} = 10 \), а \( \sqrt{75} \) приблизительно равно \(8,7\). Перемножая эти значения, получаем \(8,7 \cdot 10 = 87\). Таким образом, корень из \(7500\) равен \(87\). Такой подход позволяет упростить вычисления, разбив число на удобные множители, один из которых — полный квадрат.

б) Аналогично первому пункту, число \(750000\) раскладываем на произведение \(75 \cdot 10000\), где \(10000 = 100^2\) — полный квадрат. Выражение под корнем преобразуем в \( \sqrt{75 \cdot 10000} \), что равно \( \sqrt{75} \cdot \sqrt{10000} \). Известно, что \( \sqrt{10000} = 100 \), а \( \sqrt{75} \approx 8,7 \).

Перемножая \(8,7\) на \(100\), получаем \(870\). Таким образом, \( \sqrt{750000} = 870 \). Этот метод выделения полного квадрата помогает быстро и точно вычислить корень из больших чисел без использования калькулятора.

в) Здесь рассматриваем число меньше единицы — \(0,75\). Его можно представить как произведение \(75 \cdot 0,01\), где \(0,01 = (0,1)^2\) — полный квадрат. Тогда \( \sqrt{0,75} = \sqrt{75 \cdot 0,01} = \sqrt{75} \cdot \sqrt{0,01} \).

Поскольку \( \sqrt{75} \approx 8,7 \), а \( \sqrt{0,01} = 0,1 \), произведение равно \(8,7 \cdot 0,1 = 0,87\). Такой способ позволяет упростить вычисление корня из дробного числа путём выделения полного квадрата в виде десятичной дроби.

г) В данном случае число \(0,0075\) раскладываем как \(75 \cdot 0,0001\), где \(0,0001 = (0,01)^2\) — полный квадрат. Значит, \( \sqrt{0,0075} = \sqrt{75 \cdot 0,0001} = \sqrt{75} \cdot \sqrt{0,0001} \).

Известно, что \( \sqrt{75} \approx 8,7 \), а \( \sqrt{0,0001} = 0,01 \). Перемножая, получаем \(8,7 \cdot 0,01 = 0,087\). Такой приём выделения полного квадрата позволяет легко извлечь корень даже из маленьких десятичных чисел.