ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 379 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение частного:
а) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}\);
б) \(\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2300}}\);
в) \(\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}\);
г) \(\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}\);
д) \(\frac{\sqrt{7,5}}{\sqrt{0,3}}\).

а) \( \sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{2}{18}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \)

б) \( \sqrt{\frac{23}{2300}} = \sqrt{\frac{23}{2300}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} \)

в) \( \sqrt{\frac{52}{117}} = \sqrt{\frac{52}{117}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)

г) \( \sqrt{\frac{12500}{500}} = \sqrt{\frac{12500}{500}} = \sqrt{25} = 5 \)

д) \( \sqrt{\frac{7,5}{0,3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \)

а) Начинаем с выражения под корнем: \( \sqrt{\frac{2}{18}} \). Чтобы упростить дробь, делим числитель и знаменатель на 2, получаем \( \frac{1}{9} \). Теперь под корнем стоит \( \sqrt{\frac{1}{9}} \). Извлекаем корень из числителя и знаменателя отдельно: \( \sqrt{1} \) и \( \sqrt{9} \), что равно \( \frac{1}{3} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( \frac{1}{3} \).

Далее, важно понимать, что извлечение корня из дроби равносильно извлечению корня из числителя и знаменателя по отдельности, что позволяет значительно упростить вычисления. Здесь мы воспользовались тем, что \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \), а также знанием простых квадратных корней, таких как \( \sqrt{9} = 3 \).

б) Рассмотрим выражение \( \sqrt{\frac{23}{2300}} \). Для упрощения представим знаменатель как произведение \( 23 \times 100 \), тогда дробь становится \( \frac{23}{23 \times 100} \). Сокращаем на 23, получаем \( \frac{1}{100} \). Теперь извлекаем корень: \( \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} \).

Этот приём сокращения дроби до более простой формы помогает избежать сложных вычислений и позволяет быстро получить результат. Важно заметить, что корень из произведения равен произведению корней, что и было использовано при разложении знаменателя.

в) Исходное выражение \( \sqrt{\frac{52}{117}} \) можно упростить, предварительно найдя общий множитель в числителе и знаменателе. Заметим, что 52 и 117 делятся на 13: \( 52 = 4 \times 13 \), \( 117 = 9 \times 13 \). Тогда дробь перепишется как \( \frac{4 \times 13}{9 \times 13} \), сокращаем на 13 и получаем \( \frac{4}{9} \). Извлекаем корень: \( \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \).

Такое разложение и сокращение позволяют упростить выражение под корнем до удобного для вычисления вида. Важно помнить, что корень из дроби равен корню от числителя, делённому на корень от знаменателя.

г) Рассмотрим \( \sqrt{\frac{12500}{500}} \). Для упрощения разделим числитель и знаменатель на 500: \( \frac{12500}{500} = 25 \). Теперь извлекаем корень из 25, что равно 5. Таким образом, исходное выражение упрощается до 5.

Здесь ключевой момент — сокращение дроби перед извлечением корня, что значительно облегчает вычисление. Использование свойства \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a/b}{1}} = \sqrt{a/b} \) помогает упростить задачу.

д) В выражении \( \sqrt{\frac{7,5}{0,3}} \) сначала избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10, получаем \( \sqrt{\frac{75}{3}} \). Далее делим 75 на 3, получаем 25. Извлекаем корень из 25, что равно 5. Таким образом, исходное выражение равно 5.

Этот способ упрощения с помощью умножения на 10 позволяет избавиться от десятичных дробей и работать с целыми числами, что удобнее для вычислений. Важно помнить, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет значение дроби.