ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 38 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Постройте график функции:
а) \(y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10}\);
б) \(y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9}\).

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

а) \( y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10} = \frac{(x — 5)(x + 5)}{2(x + 5)} \),
ОДЗ: \( 2x + 10 \neq 0 \), \( x \neq -5 \).
Сокращаем на \( (x + 5) \), получаем
\( y = \frac{x — 5}{2} \).

б) \( y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9} = \frac{x(x^2 — 9)}{x^2 — 9} \),
ОДЗ: \( x^2 — 9 \neq 0 \), \( x \neq \pm 3 \).
Сокращаем на \( (x^2 — 9) \), получаем
\( y = x \).

а) Рассмотрим выражение \( y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10} \). В числителе у нас разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Здесь \( x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5) \), поэтому перепишем дробь как \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{2x + 10} \). В знаменателе можно вынести общий множитель 2: \( 2x + 10 = 2(x + 5) \). Таким образом, дробь принимает вид \( y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{2(x + 5)} \).

Далее необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому \( 2(x + 5) \neq 0 \), откуда \( x \neq -5 \). При сокращении дроби на общий множитель \( (x + 5) \) нужно помнить, что этот множитель не может быть равен нулю, иначе исходное выражение не определено. После сокращения получаем упрощённую форму \( y = \frac{x — 5}{2} \), которая определена для всех \( x \), кроме \( x = -5 \).

Таким образом, исходная функция равна линейной функции \( y = \frac{x — 5}{2} \), но с исключением точки \( x = -5 \), где функция не определена. На графике это отражается как прерывность — точка разрыва, которая обозначена пустым кружком.

б) Исходное выражение имеет вид \( y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9} \). В числителе можно вынести общий множитель \( x \): \( x^3 — 9x = x(x^2 — 9) \). Знаменатель уже содержит выражение \( x^2 — 9 \), которое является разностью квадратов и раскладывается как \( (x — 3)(x + 3) \). Таким образом, дробь можно переписать как \( y = \frac{x(x^2 — 9)}{x^2 — 9} \).

Для определения области допустимых значений необходимо исключить значения, при которых знаменатель равен нулю. Это происходит при \( x^2 — 9 = 0 \), то есть при \( x = \pm 3 \). Следовательно, \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \). После этого можно сократить числитель и знаменатель на \( x^2 — 9 \), поскольку это выражение не равно нулю в области определения. В результате получаем упрощённое выражение \( y = x \).

Таким образом, исходная функция совпадает с линейной функцией \( y = x \), но с пропущенными точками при \( x = 3 \) и \( x = -3 \), которые являются точками разрыва функции. На графике эти точки обозначены пустыми кружками.