ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 382 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(\sqrt{x^2}\), если \(x = -4; -3; 0; 9; 20\).
При каких значениях \(x\) выражение \(\sqrt{x^2}\) имеет смысл?

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4. \)
\( \sqrt{x^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3. \)
\( \sqrt{x^2} = \sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0. \)
\( \sqrt{x^2} = \sqrt{9^2} = \sqrt{81} = 9. \)
\( \sqrt{x^2} = \sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20. \)

При любых значениях \(x\) выражение имеет смысл.

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4. \) Здесь мы видим, что выражение под корнем — это квадрат числа \(-4\). Возведение в квадрат убирает знак минус, поэтому результат всегда неотрицательный. Корень квадратный из квадрата числа равен самому числу по модулю, то есть положительному значению без знака минус. В данном случае \( \sqrt{16} = 4 \), так как 4 — неотрицательное число.

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3. \) Аналогично первому примеру, мы берем число \(-3\), возводим его в квадрат, получая 9. Корень квадратный из 9 — это 3, так как корень всегда неотрицателен. Это подтверждает, что \( \sqrt{x^2} \) всегда возвращает неотрицательное значение, независимо от знака исходного числа \(x\).

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0. \) В этом случае \(x = 0\), и возведение в квадрат не меняет значение. Корень квадратный из нуля равен нулю, что соответствует определению корня. Это показывает, что при \(x = 0\) выражение также имеет смысл и результат корректен.

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{9^2} = \sqrt{81} = 9. \) Здесь \(x = 9\), положительное число. Возведение в квадрат дает 81, корень из 81 — 9. Это подтверждает, что для положительных значений \(x\) результат совпадает с самим числом \(x\).

\( \sqrt{x^2} = \sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20. \) В этом примере \(x = 20\), и по тем же причинам, что и выше, корень квадратный из квадрата числа равен самому числу. Значит, вне зависимости от того, положительное \(x\) или отрицательное, выражение \( \sqrt{x^2} \) всегда возвращает неотрицательное значение.

При любых значениях \(x\) выражение \( \sqrt{x^2} \) имеет смысл, так как подкоренное выражение \(x^2\) всегда неотрицательно. Корень квадратный из любого неотрицательного числа существует и равен неотрицательному числу, поэтому выражение определено для всех \(x \in \mathbb{R}\).