ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 385 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \(\frac{2x}{5} — \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30}\);
б) \(\frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4}\).

а) \( \frac{2x}{5} — \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} \)
\( 2x \cdot 6 — 5(x+18) \)
\( \frac{23 \cdot 30 + x}{30} \)
\( \frac{12x — 5x — 90}{30} = \frac{690 + x}{30} \)
\( 7x — 90 — x = 690 \)
\( 6x = 690 + 90 \)
\( 6x = 780 \)
\( x = 130. \)

б) \( \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} \quad | \cdot 60 \)
\( 20(x-1) + 12(2x+1) = 15(3x-1) \)
\( 20x — 20 + 24x + 12 = 45x — 15 \)
\( -x = -15 + 8 \)
\( -x = -7 \)
\( x = 7. \)

а) Начинаем с уравнения \( \frac{2x}{5} — \frac{x+18}{6} = 23 + \frac{x}{30} \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, который равен 30, так как 5, 6 и 30 делят 30 без остатка. Умножая каждое слагаемое на 30, получаем: \( 2x \cdot 6 — 5(x + 18) = 23 \cdot 30 + x \). Здесь мы умножаем числители на множители, соответствующие частям знаменателей. В левой части \( \frac{2x}{5} \) умножаем на 30, что эквивалентно умножению на \( \frac{30}{5} = 6 \), а \( \frac{x+18}{6} \) умножаем на \( \frac{30}{6} = 5 \). Справа \( 23 \) умножаем на 30, а \( \frac{x}{30} \) умножаем на 30, что даёт просто \( x \).

Далее раскрываем скобки и приводим подобные члены: \( 12x — 5x — 90 = 690 + x \), где \( 2x \cdot 6 = 12x \), а \( 5(x + 18) = 5x + 90 \). Переносим все члены с \( x \) в одну сторону: \( 12x — 5x — x = 690 + 90 \), что упрощается до \( 6x = 780 \). Делим обе части на 6, получая \( x = 130 \).

б) Рассматриваем уравнение \( \frac{x-1}{3} + \frac{2x+1}{5} = \frac{3x-1}{4} \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель 60, так как 3, 5 и 4 делят 60 без остатка. Умножаем каждое слагаемое на 60: \( 60 \cdot \frac{x-1}{3} + 60 \cdot \frac{2x+1}{5} = 60 \cdot \frac{3x-1}{4} \). Это даёт \( 20(x-1) + 12(2x+1) = 15(3x-1) \), поскольку \( \frac{60}{3} = 20 \), \( \frac{60}{5} = 12 \), \( \frac{60}{4} = 15 \).

Раскрываем скобки: \( 20x — 20 + 24x + 12 = 45x — 15 \). Складываем подобные члены слева: \( 44x — 8 = 45x — 15 \). Переносим все члены с \( x \) в одну сторону и числа в другую: \( 44x — 45x = -15 + 8 \), что даёт \( -x = -7 \). Умножаем обе части на -1, получая \( x = 7 \).