ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 388 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Замените выражение тождественно равным:
а) \(\sqrt{p^8}\);
б) \(\sqrt{y^2}\);
в) \(3\sqrt{b^2}\);
г) \(-0,2\sqrt{x^2}\);
д) \(\sqrt{25a^2}\).

а) \( \sqrt{p^8} = |p^4|; \)

б) \( \sqrt{y^2} = |y|; \)

в) \( 3 \sqrt{b^2} = 3|b|; \)

г) \( -0,2 \sqrt{x^2} = -0,2|x|; \)

д) \( \sqrt{25 a^2} = 5|a|. \)

а) Рассмотрим выражение \( \sqrt{p^8} \). Корень квадратный из степени с четным показателем можно упростить, используя свойство корня: \( \sqrt{a^{2n}} = |a^n| \). Здесь степень \(8\) — четное число, значит \( \sqrt{p^8} = |p^4| \). Абсолютное значение необходимо, потому что под корнем может быть как положительное, так и отрицательное число, а результат корня всегда неотрицателен. Таким образом, мы гарантируем, что ответ будет положительным или равным нулю, независимо от знака \(p\).

Это правило связано с тем, что \( (p^4)^2 = p^{8} \), и при извлечении корня из квадрата выражения возвращается абсолютное значение основания в степени. Если бы мы просто записали \(p^4\), то при отрицательном \(p\) значение могло бы быть отрицательным, что не соответствует определению корня квадратного. Поэтому правильный ответ — \( |p^4| \).

б) Аналогично предыдущему, для \( \sqrt{y^2} \) мы применяем то же свойство корня из квадрата: \( \sqrt{y^2} = |y| \). Здесь степень равна 2, что является четным числом, поэтому под корнем у нас квадрат переменной \(y\). При извлечении корня квадратного из квадрата переменной результатом будет абсолютное значение переменной, чтобы исключить отрицательные значения.

Это важно, потому что корень квадратный определён только как неотрицательное число, и если \(y\) отрицательно, просто \(y\) не подойдёт. Поэтому пишем \( |y| \), что означает модуль \(y\), то есть расстояние от нуля на числовой оси без учёта знака.

в) В выражении \( 3 \sqrt{b^2} \) сначала рассматриваем корень: \( \sqrt{b^2} = |b| \), по тем же причинам, что и в предыдущих пунктах. Корень из квадрата переменной даёт абсолютное значение переменной. Далее множим на 3, получаем \( 3 |b| \). Здесь коэффициент 3 не влияет на знак, он просто умножает результат.

Таким образом, выражение упрощается до \( 3 |b| \), что отражает правильное извлечение корня и сохранение множителя.

г) В выражении \( -0,2 \sqrt{x^2} \) сначала рассматриваем корень: \( \sqrt{x^2} = |x| \), согласно свойствам корня из квадрата. Затем умножаем на коэффициент \(-0,2\), который сохраняет знак минус. Итоговое выражение будет \( -0,2 |x| \).

Здесь важно не забыть, что знак минус стоит перед корнем, и после извлечения корня абсолютное значение переменной остаётся положительным, но итоговое выражение умножается на отрицательный коэффициент, что сохраняет знак минус.

д) Рассмотрим \( \sqrt{25 a^2} \). Корень из произведения равен произведению корней: \( \sqrt{25 a^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \). Корень из 25 равен 5, а корень из \(a^2\) равен \( |a| \) по уже знакомому правилу. Следовательно, итоговое выражение равно \( 5 |a| \).

Таким образом, мы применили свойства корня к произведению и учли абсолютное значение переменной, чтобы получить корректный результат.