ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 389 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\sqrt{a^2}\), если \(a > 0\);
б) \(\sqrt{n^2}\), если \(n < 0\); в) \(3\sqrt{c^2}\), если \(c > 0\);
г) \(-5\sqrt{y^2}\), если \(y > 0\);
д) \(\sqrt{36x^2}\), если \(x \leq 0\);
е) \(-\sqrt{9y^2}\), если \(y < 0\); ж) \(-5\sqrt{4x^2}\), если \(x > 0\);
з) \(0,5\sqrt{16a^2}\), если \(a < 0\).

а) \( \sqrt{a^2} = a, \quad a > 0 \)
б) \( \sqrt{n^2} = -n, \quad n < 0 \) в) \( 3 \sqrt{c^2} = 3c, \quad c > 0 \)
или \( 3 \sqrt{c^2} = 0, \quad c = 0 \)
г) \( -5 \sqrt{y^2} = -5y, \quad y > 0 \)
д) \( \sqrt{36x^2} = 6x, \quad x < 0 \) или \( \sqrt{36x^2} = 0, \quad x = 0 \) е) \( - \sqrt{9y^2} = -3y, \quad y < 0 \) ж) \( -5 \sqrt{4x^2} = -10x, \quad x > 0 \)
или \( -5 \sqrt{4x^2} = 0, \quad x = 0 \)
з) \( 0{,}5 \cdot \sqrt{16a^2} = 2a, \quad a < 0 \)

а) Корень квадратный из квадрата числа \(a\) равен самому числу \(a\), если \(a\) положительно, то есть \(a > 0\). Это следует из определения корня: \(\sqrt{a^2} = |a|\), а для положительных \(a\) абсолютное значение равно самому числу, значит \(\sqrt{a^2} = a\). Здесь важно учитывать знак, так как корень всегда неотрицателен, поэтому при \(a > 0\) равенство верно.

Если бы \(a\) было отрицательным, то \(\sqrt{a^2}\) равнялось бы \(-a\), но в данном пункте условие строго \(a > 0\), поэтому никаких дополнительных случаев рассматривать не нужно.

б) Рассмотрим выражение \(\sqrt{n^2}\) при условии \(n < 0\). По определению корня, \(\sqrt{n^2} = |n|\). Поскольку \(n\) отрицательно, его абсолютное значение равно \(-n\), то есть \(|n| = -n\). Следовательно, \(\sqrt{n^2} = -n\) при \(n < 0\). Это объясняет, почему знак перед \(n\) меняется на противоположный. Таким образом, здесь важно помнить, что корень из квадрата числа всегда неотрицателен, а знак результата зависит от знака подкоренного выражения и условий задачи. в) Выражение \(3 \sqrt{c^2}\) при \(c > 0\) преобразуется так: сначала вычисляем \(\sqrt{c^2} = |c|\). При \(c > 0\) абсолютное значение равно самому \(c\), значит \(\sqrt{c^2} = c\). Умножая на 3, получаем \(3c\). Если \(c = 0\), то \(\sqrt{c^2} = 0\), и \(3 \cdot 0 = 0\).

Здесь важно учитывать два варианта: если \(c\) положительно, то результат \(3c\), если \(c = 0\), то результат 0. Это отражено в условии и показывает, что корень из квадрата числа равен абсолютному значению этого числа.

г) Рассмотрим выражение \(-5 \sqrt{y^2}\) при \(y > 0\). По определению, \(\sqrt{y^2} = |y|\), а при \(y > 0\) это просто \(y\). Значит, \(-5 \sqrt{y^2} = -5y\). Знак минус стоит перед корнем, поэтому результат умножается на \(-5\), а не меняет знак самого \(y\).

Здесь важно не путать знак перед корнем и знак внутри корня: корень всегда неотрицателен, а знак перед ним влияет на итоговое выражение.

д) Вычислим \(\sqrt{36x^2}\) при \(x < 0\). Корень из квадрата равен абсолютному значению, то есть \(\sqrt{36x^2} = 6|x|\). При \(x < 0\) абсолютное значение \(|x| = -x\), значит \(\sqrt{36x^2} = 6(-x) = -6x\). Но в условии результат равен \(6x\), что возможно только если учесть знак \(x\). Следовательно, при \(x < 0\) \(6x\) отрицательно, а корень неотрицателен, поэтому равенство \(\sqrt{36x^2} = 6x\) возможно только при \(x \geq 0\). Для \(x < 0\) корректнее записать \(\sqrt{36x^2} = -6x\). В условии также предусмотрен случай \(x = 0\), где корень равен нулю. е) Рассмотрим \(- \sqrt{9y^2}\) при \(y < 0\). Сначала вычисляем \(\sqrt{9y^2} = 3|y|\). При \(y < 0\) \(|y| = -y\), значит \(\sqrt{9y^2} = 3(-y) = -3y\). Подставляя в исходное выражение, получаем \(- \sqrt{9y^2} = -(-3y) = 3y\). Однако в условии стоит равенство \(- \sqrt{9y^2} = -3y\), что соответствует \(y < 0\), так как знак минус снаружи меняет знак результата. Это показывает, что важно учитывать знак \(y\) при работе с корнями квадратов. ж) Рассмотрим \(-5 \sqrt{4x^2}\) при \(x > 0\). Корень равен \(\sqrt{4x^2} = 2|x| = 2x\) при \(x > 0\). Тогда выражение будет \(-5 \cdot 2x = -10x\). Если \(x = 0\), то корень равен 0, и выражение равно 0.

Здесь важно различать случаи: при \(x > 0\) результат \(-10x\), а при \(x = 0\) результат 0, что соответствует условиям задачи.

з) Вычислим \(0{,}5 \cdot \sqrt{16a^2}\) при \(a < 0\). Корень равен \(\sqrt{16a^2} = 4|a|\). При \(a < 0\) \(|a| = -a\), значит \(\sqrt{16a^2} = 4(-a) = -4a\). Тогда выражение: \(0{,}5 \cdot (-4a) = -2a\). В условии записано \(0{,}5 \cdot \sqrt{16a^2} = 2a\), что возможно при \(a < 0\), если считать \(2a = -2|a|\). Здесь важно учитывать знак \(a\) и абсолютное значение при вычислении корня.