ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 39 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Из выражений \(-\frac{x}{y}, -\frac{x}{y}, -\frac{x}{y}, -\frac{x}{y}\) выпишите те, которые:
а) тождественно равны дроби \(\frac{x}{y}\);
б) противоположны дроби \(\frac{x}{y}\).

а) \(\frac{x}{y} = -\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}\).

б) \(-\frac{x}{y}\) и \(\frac{x}{-y}\) — противоположные ей дроби.

а) Рассмотрим выражение \(\frac{x}{y}\). Если изменить знак в знаменателе, то есть заменить \(y\) на \(-y\), получим дробь \(\frac{x}{-y}\). По свойствам дробей знак минус в знаменателе можно перенести в числитель с противоположным знаком, то есть \(\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}\). Следовательно, \(\frac{x}{y} = -\frac{x}{-y}\), так как отрицательный знак в знаменателе меняет знак всей дроби на противоположный.

Таким образом, исходное равенство \(\frac{x}{y} = -\frac{x}{-y}\) объясняется тем, что минус в знаменателе равносилен переносу минуса в числитель. Если же умножить дробь \(\frac{x}{y}\) на \(-1\), то получим \(-\frac{x}{y}\), что совпадает с результатом замены знака в знаменателе. Это показывает, что дроби \(\frac{x}{y}\) и \(-\frac{x}{-y}\) связаны знаком и равны по величине.

В итоге, равенство \(\frac{x}{y} = -\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}\) отражает свойство дробей, что знак минус в числителе или знаменателе влияет на знак всей дроби, и перенос знака минус из знаменателя в числитель меняет знак дроби на противоположный.

б) Рассмотрим две дроби: \(-\frac{x}{y}\) и \(\frac{x}{-y}\). Для начала отметим, что обе дроби имеют одинаковую числительную часть по модулю — \(x\), но отличаются знаком в числителе или знаменателе. В первой дроби минус стоит перед числителем, а во второй — перед знаменателем.

По свойствам дробей, знак минус в числителе или знаменателе меняет знак всей дроби. Так, \(-\frac{x}{y}\) и \(\frac{x}{-y}\) отличаются знаком, но при этом имеют одинаковую абсолютную величину. Следовательно, эти дроби являются противоположными, так как сумма их равна нулю: \(-\frac{x}{y} + \frac{x}{-y} = 0\).

Это объясняет, почему в условии сказано, что дроби \(-\frac{x}{y}\) и \(\frac{x}{-y}\) — противоположные. Противоположные дроби отличаются знаком, но по модулю равны, что и подтверждается данной записью.