ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 390 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\sqrt{a^2 — 4a + 4}\), зная, что:
а) \(0 < a < 2\); б) \(a \geq 2\).

\( \sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a — 2)^2} = |a — 2| \)

а) \(0 \leq a < 2\)
\(|a — 2| = 2 — a\)

б) \(a \geq 2\)
\(|a — 2| = a — 2\)

\( \sqrt{a^2 — 4a + 4} = \sqrt{(a — 2)^2} = |a — 2| \). Здесь мы видим, что под корнем стоит выражение, которое можно представить в виде квадрата разности. Это упрощение возможно, так как \(a^2 — 4a + 4\) — это полный квадрат двучлена, равный \((a — 2)^2\). При извлечении квадратного корня из квадрата мы получаем модуль выражения \(a — 2\), поскольку корень из квадрата любого числа равен абсолютному значению этого числа.

а) Рассмотрим случай, когда \(0 \leq a < 2\). В этом промежутке значение \(a\) меньше 2, поэтому выражение \(a - 2\) будет отрицательным или равным нулю. По определению модуля, если выражение внутри модуля отрицательно, то модуль равен отрицательному значению этого выражения с обратным знаком. То есть \(|a - 2| = 2 - a\). Это объясняется тем, что для отрицательного аргумента \(x\) модуль равен \(-x\). Таким образом, в данном интервале модуль раскрывается как \(2 - a\). б) Теперь рассмотрим случай, когда \(a \geq 2\). В этом случае \(a - 2\) неотрицательно, то есть либо равно нулю, либо положительно. По определению модуля для неотрицательных чисел модуль равен самому числу без изменений знака. Следовательно, \(|a - 2| = a - 2\) для всех \(a\), больших или равных 2. Это отражает стандартное свойство модуля: при положительном или нулевом аргументе модуль не меняет знак. Таким образом, исходное выражение \( \sqrt{a^2 - 4a + 4} \) сводится к модулю \( |a - 2| \), который раскрывается в зависимости от значения \(a\) на два случая: \(2 - a\), если \(a\) меньше 2, и \(a - 2\), если \(a\) больше или равен 2. Это важное свойство позволяет правильно интерпретировать корень квадратный из квадрата выражения с переменной.