ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 392 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Верно ли равенство:
а) \(\sqrt{4 — 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} — 1\);
б) \(\sqrt{9 — 4\sqrt{5}} = 2 — \sqrt{5}\)?

а) \(4 — 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} — 1)^2\)
\(4 — 2\sqrt{3} = 3 — 2\sqrt{3} + 1\)
\(3 — 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} — 4 = 0\)
\(0 = 0 — \text{верно.}\)

б) \(9 — 4\sqrt{5} = (2 — \sqrt{5})^2\)
\(9 — 4\sqrt{5} = 4 — 4\sqrt{5} + 5\)
\(4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4\sqrt{5} — 9 = 0\)
\(0 = 0 — \text{верно.}\)

а) Для начала рассмотрим левую часть равенства \(4 — 2\sqrt{3}\). Мы предполагаем, что она равна квадрату выражения вида \(\sqrt{3} — 1\), то есть \( ( \sqrt{3} — 1 )^2 \). Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \). Тогда получаем \( (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 \).

В результате упрощения выражения \(3 — 2\sqrt{3} + 1\) складываем числа без корня: \(3 + 1 = 4\), и получаем \(4 — 2\sqrt{3}\), что совпадает с исходным выражением. Далее проверим равенство, перенеся все члены в одну сторону: \(3 — 2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} — 4 = 0\). Здесь \( — 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 0\), а \(3 + 1 — 4 = 0\), значит равенство верно, так как итоговое выражение равно нулю.

Таким образом, мы подтвердили, что \(4 — 2\sqrt{3}\) действительно равно \( (\sqrt{3} — 1)^2 \), что доказывает правильность исходного равенства.

б) Аналогично рассмотрим левую часть выражения \(9 — 4\sqrt{5}\) и предположим, что она равна квадрату выражения \(2 — \sqrt{5}\), то есть \( (2 — \sqrt{5})^2 \). Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: \(a^2 — 2ab + b^2\). Получаем \(2^2 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 — 4\sqrt{5} + 5\).

Сложим числа без корня: \(4 + 5 = 9\), тогда выражение упрощается до \(9 — 4\sqrt{5}\), что совпадает с исходным. Для проверки перенесём все члены в одну сторону: \(4 — 4\sqrt{5} + 5 + 4\sqrt{5} — 9 = 0\). Слагаемые с корнем \( -4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 0\), а числа \(4 + 5 — 9 = 0\), что подтверждает равенство.

Таким образом, мы доказали, что \(9 — 4\sqrt{5} = (2 — \sqrt{5})^2\), что подтверждает правильность данного равенства.