ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 393 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\);
б) \(\sqrt{6 — 2\sqrt{5}}\);
в) \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\);
г) \(\sqrt{3 — \sqrt{8}}\).

а) \( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{3 + 4\sqrt{3} + 4} = \sqrt{\left(\sqrt{3} + 2\right)^2} = \sqrt{3} + 2 \)

б) \( \sqrt{6 — 2\sqrt{5}} = \sqrt{5 — 2\sqrt{5} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{5} — 1\right)^2} = \sqrt{5} — 1 \)

в) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{6} + 3} = \sqrt{\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \)

г) \( \sqrt{3 — \sqrt{8}} = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 — 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{\left(\sqrt{2} — 1\right)^2} = \sqrt{2} — 1 \)

а) Рассмотрим выражение \( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \). Чтобы упростить корень, нужно представить подкоренное выражение в виде квадрата суммы двух чисел с иррациональными частями. Для этого раскроем скобки квадрата суммы: \( (\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3} \). Таким образом, \( 7 + 4\sqrt{3} \) равно квадрату \( \sqrt{3} + 2 \). Значит, корень из этого выражения равен \( \sqrt{3} + 2 \).

Далее, запись \( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{3 + 4\sqrt{3} + 4} \) показывает, что мы разложили число на сумму, которую можно представить как квадрат суммы. Это позволяет переписать подкоренное выражение как \( \left(\sqrt{3} + 2\right)^2 \), а затем извлечь корень, получив \( \sqrt{3} + 2 \).

б) В выражении \( \sqrt{6 — 2\sqrt{5}} \) применим тот же подход — попробуем представить подкоренное выражение в виде квадрата разности. Раскроем скобки \( (\sqrt{5} — 1)^2 = (\sqrt{5})^2 — 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 — 2\sqrt{5} + 1 = 6 — 2\sqrt{5} \). Это значит, что подкоренное выражение равно квадрату \( \sqrt{5} — 1 \), и корень из него будет равен \( \sqrt{5} — 1 \).

Запись \( \sqrt{6 — 2\sqrt{5}} = \sqrt{5 — 2\sqrt{5} + 1} \) демонстрирует разложение подкоренного выражения на сумму, которая является квадратом разности. Это позволяет упростить корень до \( \sqrt{5} — 1 \).

в) В случае \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \) попробуем разложить подкоренное выражение как квадрат суммы корней. Рассчитаем \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \). Следовательно, \( 5 + 2\sqrt{6} \) — это квадрат \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \), и корень равен \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \).

В записи \( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{6} + 3} \) показано разложение подкоренного выражения на сумму, равную квадрату суммы двух корней, что позволяет упростить выражение до \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \).

г) Рассмотрим \( \sqrt{3 — \sqrt{8}} \). Первым шагом представим \( \sqrt{8} \) как \( 2\sqrt{2} \), тогда выражение становится \( \sqrt{3 — 2\sqrt{2}} \). Теперь попробуем представить подкоренное выражение как квадрат разности: \( (\sqrt{2} — 1)^2 = (\sqrt{2})^2 — 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 — 2\sqrt{2} + 1 = 3 — 2\sqrt{2} \). Значит, корень из \( 3 — 2\sqrt{2} \) равен \( \sqrt{2} — 1 \).

Запись \( \sqrt{3 — \sqrt{8}} = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 — 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2} — 1)^2} \) показывает, что подкоренное выражение является квадратом разности, что позволяет упростить корень до \( \sqrt{2} — 1 \).