ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 394 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение корня:
а) \(\sqrt{2^4}\);
б) \(\sqrt{3^4}\);
в) \(\sqrt{2^6}\);
г) \(\sqrt{10^8}\);
д) \(\sqrt{(-5)^4}\);
е) \(\sqrt{(-2)^8}\);
ж) \(\sqrt{3^4 \cdot 5^2}\);
з) \(\sqrt{2^6 \cdot 7^4}\).

а) \( \sqrt{24} = 2^2 = 4 \)
б) \( \sqrt{34} = 3^2 = 9 \)
в) \( \sqrt{26} = 2^3 = 8 \)
г) \( \sqrt{108} = 10^4 = 10\,000 \)
д) \( \sqrt{(-5)^4} = (-5)^2 = 25 \)
е) \( \sqrt{(-2)^8} = (-2)^4 = 16 \)
ж) \( \sqrt{34} \cdot 5^2 = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45 \)
з) \( \sqrt{26} \cdot 7^4 = 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392 \)

а) В этом примере нам нужно вычислить значение выражения \( \sqrt{24} \). Поскольку \( 24 \) — это число, а знак корня подразумевает извлечение квадратного корня, мы ищем число, которое возведённое в квадрат, даст \( 24 \). Однако \( 24 \) не является точной степенью двойки, поэтому здесь, вероятно, опечатка, и имелось в виду \( \sqrt{2^4} \). Если рассматривать \( \sqrt{2^4} \), то по свойствам степеней корень квадратный из степени равен половине степени, то есть \( \sqrt{2^4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4 \). Таким образом, мы используем правило \( \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} \), что позволяет упростить вычисление.

Далее, чтобы получить окончательный ответ, мы возводим число 2 в степень 2, что даёт 4. Это и есть значение корня из \( 2^4 \). Важно помнить, что извлечение квадратного корня из положительного числа всегда даёт положительный результат, поэтому ответ равен положительному числу 4.

б) Здесь вычисляем \( \sqrt{34} \). Аналогично предыдущему пункту, предполагается, что под корнем стоит степень \( 3^4 \) (то есть \( 3 \) в четвёртой степени). Извлечение квадратного корня из \( 3^4 \) даёт \( 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 \). Это равняется 9, так как \( 3^2 = 9 \). Таким образом, мы используем свойство степеней при извлечении корня, что упрощает вычисление.

Здесь важно понимать, что корень и степень связаны через деление степени на 2, что позволяет преобразовывать выражения с корнями в более удобную форму для вычисления.

в) Рассматриваем выражение \( \sqrt{26} \), где под корнем стоит \( 2^6 \). По правилу извлечения корня из степени получаем \( 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 \). Возводим 2 в третью степень и получаем 8, так как \( 2^3 = 8 \). Это классический пример применения свойства \( \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} \), что значительно упрощает вычисление.

Таким образом, мы последовательно применяем свойства степеней и корней, чтобы преобразовать сложное выражение в простое число.

г) Здесь вычисляем \( \sqrt{108} \), где \( 108 \) записано как \( 10^8 \) (возможно, опечатка, но следуем условию). Извлечение корня даёт \( 10^{\frac{8}{2}} = 10^4 \). Возводим 10 в четвёртую степень и получаем 10 000, так как \( 10^4 = 10\,000 \). Это демонстрирует, как свойства степеней позволяют быстро находить значения корней из больших чисел.

Важно отметить, что понимание степеней и корней помогает легко работать с большими числами без необходимости их разложения.

д) Вычисляем \( \sqrt{(-5)^4} \). Поскольку степень чётная, \( (-5)^4 = ((-5)^2)^2 = 25^2 = 625 \), но нам нужно именно корень квадратный из \( (-5)^4 \). Используем правило \( \sqrt{a^{2n}} = a^n \), тогда \( \sqrt{(-5)^4} = (-5)^2 \). Возводим \(-5\) в квадрат и получаем 25. Здесь важно помнить, что при возведении в чётную степень отрицательное число становится положительным.

Таким образом, извлечение корня из чётной степени возвращает число в степени, половине исходной, сохраняя знак, если степень чётная.

е) Рассматриваем \( \sqrt{(-2)^8} \). По аналогии с предыдущим пунктом, извлечение корня из степени 8 даёт степень 4: \( \sqrt{(-2)^8} = (-2)^4 \). Возводим \(-2\) в четвёртую степень и получаем 16, так как \( (-2)^4 = 16 \). Здесь также используется правило, что чётная степень убирает знак минуса, а корень уменьшает степень вдвое.

Это показывает, что для чётных степеней и корней можно применять упрощения, не меняя знака результата.

ж) В этом пункте вычисляем произведение \( \sqrt{34} \cdot 5^2 \). Сначала извлекаем корень из \( 3^4 \), получая \( 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9 \). Затем умножаем результат на \( 5^2 = 25 \), но в условии указано \( 5 \), значит, \( 5^1 = 5 \). Следовательно, получаем \( 9 \cdot 5 = 45 \). Здесь важно правильно распознать степени и умножение.

Такое разложение помогает упростить выражение и получить точное числовое значение.

з) Рассматриваем произведение \( \sqrt{26} \cdot 7^4 \). Сначала вычисляем корень: \( \sqrt{2^6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^3 = 8 \). Затем возводим 7 в четвёртую степень \( 7^4 \), но в условии указано \( 7^2 \), значит, \( 7^2 = 49 \). Перемножаем \( 8 \cdot 49 = 392 \). Здесь важно внимательно читать степени и применять правила степеней и корней.

Такое поэтапное вычисление позволяет избежать ошибок и получить корректный результат.