ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 395 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:
а) \(\sqrt{11^1}\);
б) \(\sqrt{4^6}\);
в) \(\sqrt{(-3)^6}\);
г) \(\sqrt{(-6)^4}\);
д) \(\sqrt{2^8 \cdot 3^2}\);
е) \(\sqrt{3^4 \cdot 5^6}\);
ж) \(\sqrt{7^2 \cdot 2^8}\);
з) \(\sqrt{3^6 \cdot 5^4}\);
и) \(\sqrt{8^4 \cdot 5^6}\).

а) \( \sqrt{11^4} = |11^2| = 121; \)
б) \( \sqrt{4^6} = |4^3| = 64; \)
в) \( \sqrt{(-3)^6} = |(-3)^3| = 27; \)
г) \( \sqrt{(-6)^4} = |(-6)^2| = 36; \)
д) \( \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = |2^4 \cdot 3| = |16 \cdot 3| = 48; \)
е) \( \sqrt{3^4 \cdot 5^6} = |3^2 \cdot 5^3| = |9 \cdot 125| = 1125; \)
ж) \( \sqrt{7^2 \cdot 2^8} = |7 \cdot 2^4| = |7 \cdot 16| = 112; \)
з) \( \sqrt{3^6 \cdot 5^4} = |3^3 \cdot 5^2| = |27 \cdot 25| = 675; \)
и) \( \sqrt{8^4 \cdot 5^6} = |8^2 \cdot 5^3| = |64 \cdot 125| = 8000. \)

а) Сначала нужно вычислить корень четной степени из числа \(11^4\). По свойству степеней и модулей, корень четной степени из числа равен модулю числа в степени, равной половине показателя степени под корнем. То есть, \(\sqrt{11^4} = |11^{\frac{4}{2}}| = |11^2|\). Поскольку \(11^2 = 121\), а \(121\) положительно, модуль не изменит значение. Следовательно, результат равен \(121\).

Это основано на том, что извлечение корня четной степени из положительного числа эквивалентно возведению в степень, равную половине показателя степени, с обязательным взятием модуля, чтобы избежать отрицательных значений. В данном случае \(11\) — положительное число, поэтому модуль просто сохраняет значение.

б) Аналогично предыдущему, вычисляем корень шестой степени из \(4^6\). По формуле: \(\sqrt{4^6} = |4^{\frac{6}{2}}| = |4^3|\). Возводим \(4\) в третью степень: \(4^3 = 64\). Модуль от \(64\) равен \(64\), так как число положительное. Таким образом, ответ равен \(64\).

Здесь важно понимать, что степень под корнем делится на два, потому что корень шестой степени — это возведение в степень \(\frac{1}{6}\), а степень числа — \(6\), значит \(\sqrt{4^6} = (4^6)^{\frac{1}{6}} = 4^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 4^1\). Но в решении берется модуль от \(4^3\), что соответствует промежуточному шагу, и итог совпадает с вычислением.

в) Для вычисления корня шестой степени из \((-3)^6\) используем то же правило: \(\sqrt{(-3)^6} = |(-3)^{\frac{6}{2}}| = |(-3)^3|\). Возводим \(-3\) в третью степень: \((-3)^3 = -27\). Модуль от \(-27\) равен \(27\), так как модуль убирает знак минус. Итоговый ответ — \(27\).

Это показывает, что даже если основание отрицательное, при взятии корня четной степени результат всегда неотрицателен, так как берется модуль. В данном случае степень под корнем четная, а показатель степени после деления нечетный, поэтому число под модулем отрицательное, и модуль преобразует его в положительное.

г) Рассмотрим корень четвертой степени из \((-6)^4\). По формуле: \(\sqrt{(-6)^4} = |(-6)^{\frac{4}{2}}| = |(-6)^2|\). Возводим \(-6\) в квадрат: \((-6)^2 = 36\). Модуль от \(36\) равен \(36\), так как число положительное. Ответ равен \(36\).

В данном примере степень под корнем четная, и после деления показатель степени тоже четный, что приводит к положительному числу до взятия модуля. Модуль в этом случае не меняет знак.

д) Для вычисления корня произведения \(2^8 \cdot 3^2\) используем свойство корня: \(\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2}\). По правилу степеней: \(\sqrt{2^8} = |2^{\frac{8}{2}}| = |2^4|\), а \(\sqrt{3^2} = |3^{\frac{2}{2}}| = |3^1| = 3\). Значит, \(\sqrt{2^8 \cdot 3^2} = |2^4| \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48\).

Здесь важно понимать, что корень из произведения равен произведению корней, а степень под корнем делится на два. Модуль берется для каждого основания, чтобы результат был неотрицательным.

е) Аналогично вычисляем корень из произведения \(3^4 \cdot 5^6\). Сначала извлекаем корни отдельно: \(\sqrt{3^4} = |3^{\frac{4}{2}}| = |3^2| = 9\), \(\sqrt{5^6} = |5^{\frac{6}{2}}| = |5^3| = 125\). Перемножаем: \(9 \cdot 125 = 1125\).

Этот пример демонстрирует, что корень из произведения равен произведению корней, а возведение в степень и извлечение корня связаны через деление показателей степени.

ж) Для корня из произведения \(7^2 \cdot 2^8\) вычисляем отдельно: \(\sqrt{7^2} = |7^{\frac{2}{2}}| = |7^1| = 7\), \(\sqrt{2^8} = |2^{\frac{8}{2}}| = |2^4| = 16\). Перемножаем: \(7 \cdot 16 = 112\).

Здесь также используется свойство корня из произведения и деление показателей степени на два. Модуль гарантирует положительный результат.

з) Рассмотрим корень из произведения \(3^6 \cdot 5^4\). Извлекаем корни: \(\sqrt{3^6} = |3^{\frac{6}{2}}| = |3^3| = 27\), \(\sqrt{5^4} = |5^{\frac{4}{2}}| = |5^2| = 25\). Перемножаем: \(27 \cdot 25 = 675\).

Этот пример подтверждает правило, что корень из произведения равен произведению корней, и что степень под корнем делится на два.

и) Вычисляем корень из произведения \(8^4 \cdot 5^6\). Извлекаем корни: \(\sqrt{8^4} = |8^{\frac{4}{2}}| = |8^2| = 64\), \(\sqrt{5^6} = |5^{\frac{6}{2}}| = |5^3| = 125\). Перемножаем: \(64 \cdot 125 = 8000\).

Здесь снова применяется свойство корня из произведения и деление показателей степени на два, а модуль гарантирует положительный результат.